Question

Случайные величины  и  имеют биномиальные распределения с параметрами n = 40 и p = 0,2 для величины  и n = 100 и p = 0,1 для величины . Найти математическое ожидание и дисперсию величины  10  2 , если известен коэффициент корреляции (,)  0,7.
5. Дан закон распределения двумерной случайной величины , : 90

 =2  =1  =0  =1
  1 0,1 0,2 0,1 0,1
  0 0 0,1 0 0,2
 =2 0 0,1 0 0,1

1) Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания М , М и дисперсии D , D.
2) Найти ковариацию Cov( ,) и коэффициент корреляции (,).
3) Являются ли случайные события   2 и   1 зависимыми?
4) Составить условный закон распределения случайной величины     0 и найти М и D .

Answer 1

Добрый день! Давайте разберем каждое задание по порядку.

1) Одномерные законы распределения случайных величин ξ и η соответствуют суммам вероятностей по строкам и столбцам таблицы соответственно. Для этого нужно просуммировать вероятности в каждой строке и столбце:

Для ξ:

- Вероятность ξ = -2: 0
- Вероятность ξ = -1: 0.1 + 0 + 0 = 0.1
- Вероятность ξ = 0: 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4
- Вероятность ξ = 1: 0.1 + 0 + 0 = 0.1

Таким образом, одномерный закон распределения случайной величины ξ будет следующим: ξ = {-2: 0, -1: 0.1, 0: 0.4, 1: 0.1}

Для η:

- Вероятность η = -1: 0.1 + 0.1 + 0 = 0.2
- Вероятность η = 0: 0.1 + 0 + 0.1 = 0.2
- Вероятность η = 1: 0.2 + 0 + 0 = 0.2
- Вероятность η = 2: 0.1 + 0 + 0.1 = 0.2

Таким образом, одномерный закон распределения случайной величины η будет следующим: η = {-1: 0.2, 0: 0.2, 1: 0.2, 2: 0.2}

Далее, вычислим математическое ожидание Мξ и Мη, а также дисперсию Dξ и Dη.

- Математическое ожидание Мξ:

Mξ = (-2) * 0 + (-1) * 0.1 + 0 * 0.4 + 1 * 0.1 = -0.1

- Математическое ожидание Мη:

Mη = (-1) * 0.2 + 0 * 0.2 + 1 * 0.2 + 2 * 0.2 = 0.2

- Дисперсия Dξ:

Dξ = (ξ - Mξ)^2 * P(ξ)

Dξ = (-2 - (-0.1))^2 * 0 + (-1 - (-0.1))^2 * 0.1 + (0 - (-0.1))^2 * 0.4 + (1 - (-0.1))^2 * 0.1 = 1.19

- Дисперсия Dη:

Dη = (η - Mη)^2 * P(η)

Dη = (-1 - 0.2)^2 * 0.2 + (0 - 0.2)^2 * 0.2 + (1 - 0.2)^2 * 0.2 + (2 - 0.2)^2 * 0.2 = 0.96

2) Ковариация Cov(ξ, η) вычисляется по формуле:

Cov(ξ, η) = E((ξ - Mξ)(η - Mη))

Cov(ξ, η) = (-2 - (-0.1)) * (-1 - 0.2) * 0 + (-1 - (-0.1)) * (0 - 0.2) * 0.1 + (0 - (-0.1)) * (1 - 0.2) * 0.4 + (1 - (-0.1)) * (2 - 0.2) * 0.1 = -0.18

Коэффициент корреляции ρ(ξ, η) вычисляется по формуле:

ρ(ξ, η) = Cov(ξ, η) / sqrt(Dξ * Dη)

ρ(ξ, η) = -0.18 / sqrt(1.19 * 0.96) ≈ -0.354

3) Для того чтобы узнать, являются ли случайные события ξ = -2 и η = -1 зависимыми, нужно проверить, равна ли вероятность их совместного наступления P(ξ = -2, η = -1) произведению вероятностей отдельных событий P(ξ = -2) и P(η = -1):

P(ξ = -2, η = -1) = 0

P(ξ = -2) * P(η = -1) = 0 * 0.2 = 0

Таким образом, вероятность их совместного наступления равна 0, а произведение вероятностей отдельных событий тоже равно 0. Это означает, что события ξ = -2 и η = -1 являются независимыми.

4) Условный закон распределения случайной величины γ = (ξ, η = 0) можно найти, рассмотрев только сочетания, где η = 0:

- Вероятность γ = -2: 0
- Вероятность γ = -1: 0 + 0 = 0
- Вероятность γ = 0: 0.1 + 0 + 0 = 0.1
- Вероятность γ = 1: 0.1 + 0 + 0 = 0.1

Таким образом, условный закон распределения случайной величины γ = (ξ, η = 0) будет следующим: γ = {-2: 0, -1: 0, 0: 0.1, 1: 0.1}

Математическое ожидание Мγ можно найти, умножив значения γ на их вероятность и сложив:

Mγ = (-2) * 0 + (-1) * 0 + 0 * 0.1 + 1 * 0.1 = 0.1

Дисперсию Dγ можно найти, используя формулу:

Dγ = (γ - Mγ)^2 * P(γ)

Dγ = (-2 - 0.1)^2 * 0 + (-1 - 0.1)^2 * 0 + (0 - 0.1)^2 * 0.1 + (1 - 0.1)^2 * 0.1 = 0.79

Надеюсь, ответ был понятен. Если есть вопросы, я готов их раскрыть более подробно.