Question

Высота равнобедренной трапеции равна 12; её средняя линия равна 16. Найти периметр трапеции, если известно, что её диагональ

Answer 1

решение задания по геометрии
 

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте вспомним некоторые свойства равнобедренной трапеции.

Для начала, давайте обозначим остальные стороны трапеции. Обозначим основания трапеции как A и B, а боковые стороны как a и b. Из условия задачи известно, что высота равна 12, а средняя линия равна 16.

Первое свойство, которое мы вспоминаем - это то, что средняя линия трапеции равна сумме оснований, разделенных на 2:
\(M = \frac{{a + b}}{2}\)

Так как у нас известно, что средняя линия равна 16, то мы можем записать следующее уравнение:
\(16 = \frac{{a + b}}{2}\)

Умножим обе части уравнения на 2:
\(32 = a + b\)

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, нам нужно найти сумму всех её сторон. Периметр равнобедренной трапеции можно найти по формуле:
\(P = a + b + 2c\),

где c - это длина диагонали.

Так как у нас стороны a и b равны, мы можем записать периметр трапеции в следующей формуле:
\(P = 2a + 2c\)

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, нам нужно найти её стороны a и c. Посчитаем их.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны a. Обозначим сторону, соединяющую вершину с длинной базой, как h. Так как трапеция равнобедренная, то сторона h - это высота трапеции. Мы знаем, что h равно 12, а сторона c - это половина диагонали.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

\(h^2 + (\frac{{c}}{2})^2 = a^2\)

Вставляем известные значения:
\(12^2 + (\frac{{c}}{2})^2 = a^2\)

Упрощаем это уравнение:
\(144 + \frac{{c^2}}{4} = a^2\)

Теперь мы можем найти сторону a, возведя обе части уравнения в квадрат:
\(a = \sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}\)

Теперь, чтобы найти сторону c (половина диагонали), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, стороной a и половиной основания.

Мы можем записать уравнение:
\(c^2 + a^2 = (\frac{{b - a}}{2})^2\)

Вставляем значения:
\(c^2 + (\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}})^2 = (\frac{{b - \sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}}}{2})^2\)

Упрощаем это уравнение. Возведем сторону a в квадрат:
\(c^2 + 144 + \frac{{c^2}}{4} = (\frac{{b - \sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}}}{2})^2\)

Упрощаем еще:
\(c^2 + 144 + \frac{{c^2}}{4} = (\frac{{b^2 - 2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}} + 144 + \frac{{c^2}}{4}}}{4})\)

Приводим подобные члены и упрощаем:
\(c^2 + 144 + \frac{{c^2}}{4} = (\frac{{b^2 - 2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}} + 144 + \frac{{c^2}}{4}}}{4})\)

Уназываем члены:
\(4c^2 + 576 + c^2 = (b^2 - 2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}} + 144 + \frac{{c^2}}{4})\)

Сокращаем:
\(5c^2 + 576 = b^2 - 2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}} + 144 + \frac{{c^2}}{4}\)

Выносим некоторые члены влево:
\(5c^2 - b^2 - \frac{{c^2}}{4} - 144 = -2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}\)

Сокращаем:
\(4c^2 - 4b^2 - c^2 - 576 = -2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}\)

Сокращаем еще:
\(3c^2 - 4b^2 - 576 = -2b\sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}\)

Воспользуемся перекидыванием члена влево и возведением его в квадрат:
\((-3c^2 + 4b^2 + 576)^2 = 4b^2(144 + \frac{{c^2}}{4})\)

Умножаем и раскрываем скобки:
\(9c^4 - 24c^2b^2 + 16b^4 + 1152c^2 - 2304b^2 + 331776 = 576b^2 + 2bc^2\)

Упрощаем:
\(9c^4 - 24c^2b^2 - 574b^2 + 1152c^2 - 233952 = 2bc^2\)

Упрощаем еще:
\(9c^4 - 22c^2b^2 - 574b^2 + 1152c^2 - 233952 = 0\)

Теперь мы имеем уравнение с одной переменной, которое мы можем решить с использованием факторизации или использования формул решения квадратных уравнений.

После нахождения значения стороны c, мы можем найти значение стороны a по формуле \(a = \sqrt{144 + \frac{{c^2}}{4}}\).

Теперь, когда у нас есть значения сторон a и c, мы можем найти периметр трапеции, используя формулу \(P = 2a + 2c\).

Вот и всё!