Грань EFKL куба представляет собой квадрат, образованный серединами сторон квадрата основания пирамиды. Периметр данного квадрата - одна из составляющих линии пересечения пирамиды и куба. Сторона куба равна половине диагонали основания пирамиды (например как средняя линия тр. АВС) EF = (акор2)/2. P(EFKL) = 4*EF = 2акор2.
Еще линия пересечения будет содержать два отрезка по граням АМВ и ВМС пирамиды, так как они перпендикулярны основанию. Каждый из этих отрезков равен половине МВ, как средняя линия соответствующего пр. тр-ка (АМВ или ВМС): МВ/2 = а/4
Итак, выражение для линии пересечения:
L = P(EFKL) + 2*MB/2 = 2акор2 + а/2 = а(4кор2 + 1)/2
Пусть b - основание тр-ка, а - боковая сторона, h - высота к основанию.
Тогда по условию: 2R = b+h. (1)
Теперь воспользуемся двумя формулами для площади тр-ка:
S = abc/(4R) и S = bh/2
Получим уравнение:
h = a^2 /(2R) (2)
И наконец теорема Пифагора:
a^2 = b^2 /4 + h^2 (3)
(1), (2), (3) - система трех уравнений с тремя неизвестными: a, b, h.
Разрешим ее относительно h:
((2R-h)^2)/4 + h^2 = 2Rh
5h^2 - 12Rh + 4R^2 = 0 D = 64R^2
h1 = (12R + 8R)/10 = 2R - не подходит по смыслу.
h2 = (12R - 8R)/10 = 0,4R
ответ: 0,4R.
