Question

Стальной стержень квадратного сечения растягивается усинем F=120 кН. Относительное
удлинение не должно превышать I/2000, а напряжение — 120 МПа. Найти нанменьшую сторону квадрата,
удовлетворяющую этим условиям, если модуль упругости стали E = 2*10<в 5 степени>

МПа.​

Answer 1

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон Гука, который связывает силу упругости, длину стержня и модуль упругости:

F = k * ΔL,

где F - сила упругости, k - коэффициент упругости, ΔL - изменение длины стержня.

Относительное удлинение выражается как:

ε = ΔL / L,

где ε - относительное удлинение, ΔL - изменение длины стержня, L - исходная длина стержня.

Из условия задачи, относительное удлинение не должно превышать I/2000, то есть:

ΔL / L <= I/2000.

Напряжение в стержне можно выразить, используя формулу:

σ = F / A,

где σ - напряжение, F - сила упругости, A - площадь сечения стержня.

Из условия задачи, напряжение не должно превышать 120 МПа, то есть:

F / A <= 120 МПа.

Изначально, площадь сечения стержня равнаквадрату его стороны, то есть A = S^2.

Модуль упругости связан с коэффициентом упругости следующей формулой:

E = k * L / A.

Перепишем формулу для коэффициента упругости:

k = E * A / L.

Теперь мы можем подставить значение k в формулу для F:

F = E * A / L * ΔL.

Заменим также площадь сечения A на S^2:

F = E * S^2 / L * ΔL.

Отсюда можем выразить S:

S = sqrt(F * L * ΔL / E).

Подставляя известные значения, получаем:

S = sqrt(120 кН * L * ΔL / 2 * 10^5 МПа).

Так как мы ищем наименьшую сторону квадрата, можно заметить, что при неизменных значениях изменения длины ΔL, наименьшая сторона квадрата будет, когда мы максимизируем площадь сечения стержня. То есть:

S = sqrt(120 кН * L * ΔL / 2 * 10^5 МПа) = sqrt(60 * 10^3 Н * L * ΔL / 10^7 Па).

Теперь осталось найти значения ΔL и L. Они не даны в тексте задачи, поэтому предположим, что ΔL равно I/2000. Тогда относительное удлинение будет:

ε = ΔL / L = I / (2000 * L).

Но из условия задачи известно, что относительное удлинение не должно превышать I/2000, что даёт нам неравенство:

I / (2000 * L) <= I / 2000.

Обе части неравенства можно домножить на 2000 * L:

I <= 2000 * L.

Отсюда получаем, что L >= I / 2000.

Возьмем L = I / 2000.

Теперь мы можем подставить значения в наше выражение для S:

S = sqrt(60 * 10^3 Н * (I / 2000) * (I / 2000) / 10^7 Па) = sqrt(60 * I^2 / 40 * 10^9) = sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).

Абсолютное значение наименьшей стороны квадрата будет:

|S| = sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).

Таким образом, наименьшая сторона квадрата будет равна sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).