Для начала разберемся с терминологией и предоставим определения некоторых важных понятий.
1. Прямая призма - это геометрическое тело, у которого основаниями являются параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники.
2. Ромб - это особый тип параллелограмма, у которого все стороны равны.
3. AC и BD - это диагонали ромба ABCD. Заметим, что в этом случае AC и BD являются высотами призмы.
4. C₁B и C₁D - это боковые ребра призмы, которые перпендикулярны основаниям и проходят через вершину C₁.
5. Угол C₁BC - это угол между боковым ребром C₁B и одной из диагоналей AC.
Теперь перейдем к решению задачи.
1. Поскольку ABCD - ромб, мы знаем, что его диагонали AC и BD перпендикулярны между собой. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.
2. Мы знаем, что длина AC равна 24 см. Оставшиеся стороны треугольника, AB и BC, будут равны между собой, поскольку ABC - ромб.
3. Найдем длину стороны AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB² = AC² - BC²
AB² = 24² - BC²
Нам нужно найти BC. Обратимся к углу C₁BC, который равен 45°. Знаем, что в прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45°, если катеты равны. Так как BC = AB в нашем случае, угол C₁BC будет равен 45°.
4. Итак, мы можем записать уравнение:
AB² = 24² - AB²
2AB² = 24²
AB² = (24²) / 2
AB = √(12²) = 12√2 см
5. Теперь, когда мы знаем длину стороны AB, мы можем найти площадь основания ABCD призмы. Поскольку ABCD - ромб, площадь его основания будет равна половине произведения диагоналей.
S основания = (AC × BD) / 2
S основания = (24 × 10) / 2
S основания = 120 см²
6. Чтобы найти полную площадь призмы, мы должны учесть площади всех ее боковых граней. В нашем случае их будет четыре. Каждая боковая грань призмы ABCD-A₁B₁C₁D₁ - это прямоугольник со сторонами AB и высотой C₁B.
Площадь одной боковой грани = AB × C₁B
Площадь четырех боковых граней = 4 × (AB × C₁B)
Поскольку BC = AB (как было отмечено выше), нам нужно найти длину бокового ребра C₁B. Для этого воспользуемся свойством прямых призм: боковые ребра перпендикулярны диагоналям оснований.
Так как AC и BD являются высотами призмы, они перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке C₁. Значит, C₁B будет перпендикулярно одной из диагоналей (в нашем случае AC) и будет служить высотой прямоугольника (боковой грани).
Таким образом, C₁B = AC = 24 см.
Площадь четырех боковых граней = 4 × (AB × C₁B)
Площадь четырех боковых граней = 4 × (12√2 × 24)
Площадь четырех боковых граней = 96√2 см²
7. Наконец, найдем полную площадь призмы, сложив площадь основания и площади всех боковых граней:
S полная = S основания + площадь четырех боковых граней
S полная = 120 см² + 96√2 см²
Окончательно, полная площадь данной призмы равна 120 см² + 96√2 см².
1. Прямая призма - это геометрическое тело, у которого основаниями являются параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники.
2. Ромб - это особый тип параллелограмма, у которого все стороны равны.
3. AC и BD - это диагонали ромба ABCD. Заметим, что в этом случае AC и BD являются высотами призмы.
4. C₁B и C₁D - это боковые ребра призмы, которые перпендикулярны основаниям и проходят через вершину C₁.
5. Угол C₁BC - это угол между боковым ребром C₁B и одной из диагоналей AC.
Теперь перейдем к решению задачи.
1. Поскольку ABCD - ромб, мы знаем, что его диагонали AC и BD перпендикулярны между собой. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.
2. Мы знаем, что длина AC равна 24 см. Оставшиеся стороны треугольника, AB и BC, будут равны между собой, поскольку ABC - ромб.
3. Найдем длину стороны AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB² = AC² - BC²
AB² = 24² - BC²
Нам нужно найти BC. Обратимся к углу C₁BC, который равен 45°. Знаем, что в прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45°, если катеты равны. Так как BC = AB в нашем случае, угол C₁BC будет равен 45°.
4. Итак, мы можем записать уравнение:
AB² = 24² - AB²
2AB² = 24²
AB² = (24²) / 2
AB = √(12²) = 12√2 см
5. Теперь, когда мы знаем длину стороны AB, мы можем найти площадь основания ABCD призмы. Поскольку ABCD - ромб, площадь его основания будет равна половине произведения диагоналей.
S основания = (AC × BD) / 2
S основания = (24 × 10) / 2
S основания = 120 см²
6. Чтобы найти полную площадь призмы, мы должны учесть площади всех ее боковых граней. В нашем случае их будет четыре. Каждая боковая грань призмы ABCD-A₁B₁C₁D₁ - это прямоугольник со сторонами AB и высотой C₁B.
Площадь одной боковой грани = AB × C₁B
Площадь четырех боковых граней = 4 × (AB × C₁B)
Поскольку BC = AB (как было отмечено выше), нам нужно найти длину бокового ребра C₁B. Для этого воспользуемся свойством прямых призм: боковые ребра перпендикулярны диагоналям оснований.
Так как AC и BD являются высотами призмы, они перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке C₁. Значит, C₁B будет перпендикулярно одной из диагоналей (в нашем случае AC) и будет служить высотой прямоугольника (боковой грани).
Таким образом, C₁B = AC = 24 см.
Площадь четырех боковых граней = 4 × (AB × C₁B)
Площадь четырех боковых граней = 4 × (12√2 × 24)
Площадь четырех боковых граней = 96√2 см²
7. Наконец, найдем полную площадь призмы, сложив площадь основания и площади всех боковых граней:
S полная = S основания + площадь четырех боковых граней
S полная = 120 см² + 96√2 см²
Окончательно, полная площадь данной призмы равна 120 см² + 96√2 см².