Пусть ВМ и АN пересекаются в точке Р. Рассмотрим треугольники ОВМ и OАN: ОВ=ОN, ОМ=ОА, угол АОМ - общий. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников сОВМледует, что угол равен углу АNO. НО тогда треугольники АВР и РМN равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. АВ=MN. так как ОВ-ОА=АВ, MN=ОN-ОМ. А по услвию ОВ=ОN и ОА=ОМ. Если из равных вычесть равные, то остатки тоже равны.Кроме того угол равен углу АNO ( было доказано раньше). Углы АРВ и NPM вертикальные. Они равны. Значит и третьи углы тоже равны между собой. так как сумма углов треугольника 180. Из 180 вычтем два равных, останутся равные. Из равенства треугольников АВР и РМN следует, что АР=РМ. Значит Треугольники ОАР и ОРМ равны по трем сторонам. ОР - общая. ОА=ОМ по условию и АР=РМ доказано выше. Из равенства треугольников следует, что УГОЛ АОР=углу РОМ. значит ОР - биссектриса.
Век
Противники Византии
Чем закончилось столкновение
VI в.
Варварские королевста
Лангобарды
Персы
Славяне, авары, гунны
+ Италия, Сев. Африка, часть Пиренеев
- Сев. Италии
+ Армения
- Разорение земель империи
VII в.
Персы
Арабы
Авары, болгары
Ослабление обеих государств
- Сев. Африка, Египет, Сирия, Палестина, часть Малой Азии
Сдерживание этих племен
VIII в.
Арабы
Болгары и другие славяне
Решительное поражение арабов остановивило их продвижение
- провинции на Балканах
IX в.
Арабы
Болгары
+ часть Месопотамии и Сирии, - Сицилия
+ вернули потерянные провинции