Решение. Введем цифровые обозначения для углов (см. рис.24). По условию Z1 = 50°, Z2 = 70°.
ZAOC = Zl + Z3. Углы 2 и 3 вертикальные, поэтому Z3 = Z2. Таким образом,
ZAOC = Zl+Z2 = 120°.
Углы 1 и BOD — смежные, поэтому ZBOD + Z1 = 180°. Отсюда находим:
ZBOD = 180° -50° = 130°.
Углы 2 и СОЕ — смежные, поэтому Z2 + ZCOE = 180°, откуда ZCOE= 180° -70° = 110°.
Углы COD и АОС - смежные, поэтому ZCOD + ZAOC = 180°,
откуда
ZCOD = 180° - Z1 - Z3 = 180° - 50° - 70° = 60°.
Ответ. ZAOC = 120°, ZBOD = 130°, ZCOE = 110°, ZCOD = = 60°.
В ΔАОС:
ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к. ОВ ⊥ а (по условию)). Значит, ΔАОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.
2) Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести к прямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ. Тогда, из п. 1, точки А и С лежат на окружности. Противоречие, т.к. по условию прямая а имеет с окружностью только одну общую точку.
3) Если две окружности касаются в некоторой точке А, то они имеют общую касательную в этой точке.
Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем ΔOO1A. Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,
в одной из которых лежит точка А. ΔОО1А = ΔОО1А1 по 1-му признаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскость ∠А1О1О = ∠АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА = ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеих окружностей. Противоречие. По условию окружности имеют только одну точку пересечения. Таким образом, точки О, О1, А лежат на одной прямой.
Через точку А проведем прямую а, а ⊥ ОА. Таким образом, а — касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А ⊥ а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружности
касаются в точке А.