Question

У какой из больших планет угловая скорость движения по небу может достигать максимального для всех планет значения? Чему оно равно и

Answer 1

Угловая скорость движения планеты (как верхней, так и нижней) по небу достигает максимума в верхнем соединении, когда планета находится за Солнцем. При этом у верхних планет эта скорость будет ниже угловой скорости Солнца, у нижних — выше. Угловая скорость движения планеты по небу в верхнем соединении ω равна
 
где a и v — большая полуось орбиты и орбитальная скорость планеты а a0 и v0 — большая полуось и орбитальная скорость Земли. Второе равенство получено из III закона Кеплера в предположении круговых орбит планет, ω0 — угловая скорость орбитального вращения Земли, равная 0.986°/сутки. Из данной формулы видно, что угловая скорость движения планеты по небу будет тем больше, чем меньше отношение (a/a0), то есть чем ближе к Солнцу находится планета. Получается, что быстрее всех по небу может перемещаться Меркурий. Учитывая, что большая полуось его орбиты равна 0.387 а.е., получаем значение угловой скорости
1.85°/сутки.
Однако, этот ответ лишь приближенный. Для точного решения задачи нужно учесть, что орбита Меркурия достаточно вытянутая (e=0.206), и его угловая скорость по небу достигнет максимума, если верхнее соединение этой планеты совпадет с прохождением точки перигелия орбиты. В этом случае вместо величины a в формулу для угловой скорости нужно подставить перигелийное расстояние Меркурия rP:
rP = a (1 – e),
а вместо величины v – перигелийную скорость Меркурия vP:
 
Эти величины составляют 0.307 а.е. и 58.9 км/с, из чего мы получаем максимальную угловую скорость Меркурия на небе: 2.25°/сутки.