Гос-во при Ярославе Мудром:
В 1036 году он одержал победу над печенегами. В память о победе над печенегами князь заложил знаменитый собор Святой Софии в Киеве.
В этом же году после смерти брата Мстислава Владимировича Ярослав стал единоличным правителем большей части Киевской Руси, за исключением Полоцкого княжества, где княжил его племянник Брячислав, а после смерти последнего в 1044 — Всеслав Брячиславич.
В 1038 году войска Ярослава совершили поход на ятвягов, в 1040 году на Литву, а в 1041 году водный поход на ладьях в Мазовию.
В 1043 году, Ярослав, за убийство «одного знаменитого россиянина» в Константинополе[53], послал сына своего Владимира совместно с Харальдом Суровым и воеводой Вышатой в поход на императора Константина Мономаха, в котором военные действия разворачивались на море и суше с переменным успехом и который закончился миром, заключённым в 1046 году. В 1044 году Ярослав организовал поход[54] на Литву.
В 1045 году великий князь Ярослав Мудрый и княгиня Ирина (Ингегерда) направились в Новгород из Киева к сыну Владимиру на закладку им каменного Софийского собора, вместо сгоревшего деревянного.
В 1047 году произошёл разрыв Ярославом Мудрым союза с Польшей.
Прежде посчитаем вероятность появления герба, используя формулу Бернулли для независимых повторных испытаний, она может быть записана так Рₙ(а)=Сₙᵃ*pⁿqⁿ⁻ᵃ; р=q=1/2, т.к. равновозможны при одном подбрасывании выпадения герба и решки.
Р₄(0)=С₄⁰*(1/2)⁰(1/2)⁴= 1/16
Р₄(1)=С¹₄*(1/2)¹(1/2)³ =4/16
Р₄(2)=С ²₄*(1/2)²(1/2)²=6/16
Р₄(3)=С³₄ *(1/2)³(1/2)¹= 4/16
Р₄(4)=С⁴₄*(1/2)⁴(1/2)⁰= 1/16
Число сочетаний легко находилось с биномиальных коэффициентов бинома Ньютона для показателя, равного 4, суммы двучлена. Это 1;4;6;4;1.
Чтобы составить закон распределения, надо,чтобы сумма всех вероятностей составила 1. Проверим это. 1/16 +4/16+ 6/16+4/16+1/16=
(1+4+6+4+1)/16=1
_х0___ 1 2 34___
__р___1/16___4/16___6/16___4/16___1/16Математическое ожидание равно сумме х на р. т.е. М(х)=0*(1/16)+1*(4/16)+2*(6/16)+3*(4/16)+4*(1/16)=2
М²(х)=4, М(х²)=0+4/16+24/16+36/16+16/16=5, а дисперсия Д(х)= 5-4=1. среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии .√1=1
