Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внутренним образом. Через точку касания проведена хорда, которая отсекает от внешней окружности сегмент площади
Для начала, давайте разберемся с основными понятиями в данной задаче.
Окружность - это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от определенной точки в плоскости. В данной задаче у нас есть две окружности.
Радиус - это расстояние от центра окружности до любой ее точки. У каждой окружности есть свой радиус.
Касание - это точка, в которой окружности соприкасаются или пересекаются. В данной задаче указано, что окружности касаются внутренним образом, что означает, что большая окружность целиком содержится внутри меньшей окружности.
Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. В данной задаче у нас есть хорда, которая проходит через точку касания окружностей.
Сегмент - это часть окружности, ограниченная хордой.
Теперь перейдем к решению задачи.
1. Посмотрим на рисунок и подпишем все известные значения:
- R - радиус внешней окружности
- r - радиус внутренней окружности
- A - точка касания окружностей
- AB - хорда, отсекающая сегмент на внешней окружности
- S - площадь сегмента
У нас дано, что R > r, то есть внешняя окружность больше внутренней.
2. Обратимся к формуле для площади сегмента окружности:
S = (R^2 / 2) * (α - sinα), где α - центральный угол, охватывающий сегмент
Нам нужно как-то найти α, чтобы использовать эту формулу.
3. Заметим, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Тогда у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной R, и катетом, равным r.
4. Воспользуемся теоремой Пифагора для нашего треугольника:
R^2 = r^2 + AB^2
5. Так как мы знаем, что AB - хорда, то мы можем разделить ее пополам и получить катеты прямоугольного треугольника.
Пусть AM будет половиной хорды AB.
6. AM = AB / 2 = (R - r) - это следует из того, что хорда проходит через точку касания и AB является катетом прямоугольного треугольника.
7. Тогда наше уравнение примет вид:
R^2 = r^2 + (R - r)^2
Раскроем скобки:
R^2 = r^2 + R^2 - 2Rr + r^2
Сократим R^2 с каждой стороны:
0 = 2r^2 - 2Rr
Делим обе стороны на 2:
0 = r^2 - Rr
r(r - R) = 0
8. У нас есть два решения: r = 0 или r = R.
В данной задаче не принимается вариант r = 0, так как окружности должны касаться друг друга.
Значит, r = R.
9. Теперь, когда мы узнали, что r = R, мы можем найти α.
Обратимся снова к прямоугольному треугольнику:
sin(α/2) = (r / R)
sin(α/2) = (R / R) = 1
Находим α/2:
α/2 = arcsin(1)
α/2 = π/2
Тогда α = 2 * (π/2) = π
10. Подставим наше найденное значение α в формулу площади сегмента:
S = (R^2 / 2) * (π - sin(π))
Синус значения π равен нулю:
S = (R^2 / 2) * π
11. Получаем окончательный ответ: площадь сегмента равна (R^2 / 2) * π
имеет-5б,6зв.
ералаш-6б,7зв.
стекло-6б,6зв.
медведь-7б,6зв.
жуёт-4б, 5зв.
Екатерина-9б,10 зв.
знания-6б,7зв.