Оч 4. под действием силы тяготения при исчерпании внутренних
источников энергии, поддерживающих высокую температуру газа, солнце
сжимается до определенного минимального радиуса и его называют
солнечным пульсаром». найти минимальный радиус «солнечного пульсара»
и период вращения вокруг своей оси. считать солнце однородным шаром.
радиус солнца rc = 7•10^8 м, период вращения вокруг оси равен тc = 2,2
2.2•10^6с. масса солнца mc = 2 •10^30 кг. момент инерции однородного шара= i=2mr^2/5. гравитационная постоянная равна g = 6,7 • 10^-11
Сначала рассмотрим закон сохранения энергии. Сила тяготения сжимает Солнце до определенного радиуса, при котором исчерпываются внутренние источники энергии, поддерживающие высокую температуру газа. Это означает, что потенциальная энергия гравитации, превращается во внутреннюю энергию Солнца. Формула для потенциальной энергии гравитации:
PE = -GMm/r,
где G - гравитационная постоянная, M - масса Солнца, m - масса частицы газа, r - расстояние от центра Солнца до его поверхности.
Поскольку Солнце однородно, мы можем использовать среднее значение массы частицы газа и среднее значение расстояния от центра до поверхности в формуле потенциальной энергии. Масса частицы газа равна массе Солнца, поделенной на общее количество частиц газа в Солнце, и радиус от центра до поверхности Солнца равен половине радиуса Солнца:
PE = -GM(m/M)(r/2) = -Gm(r/2).
Затем рассмотрим формулу для кинетической энергии вращения шара:
KE = (1/2) I ω^2,
где I - момент инерции, ω - угловая скорость.
Используя формулу для момента инерции однородного шара (i=2mr^2/5), мы можем выразить момент инерции шара через его массу и радиус:
I = (2/5) m r^2.
Теперь мы можем записать закон сохранения энергии для "солнечного пульсара":
-(1/2)Gm(r/2) = (1/2)(2/5) m r^2 ω^2.
Упрощая уравнение, удаляем общие члены m и r, и получаем:
-(1/4)G(r/2) = (1/5) r^2 ω^2.
Перепишем уравнение в дифференциальной форме, заменяя r^2 на x:
-(1/4)G(1/2)(d(r^2)/dt) = (1/5) x ω^2,
-(1/4)G(r^2)(dr/dt) = (1/5) x ω^2.
Теперь воспользуемся известными значениями: rc = 7•10^8 м, тc = 2.2•10^6 с и mc = 2•10^30 кг. Подставляем значения и находим минимальный радиус "солнечного пульсара".
-(1/4)G(r^2)(dr/dt) = (1/5) x (2/5) mc rc^2 / tc^2 ω^2.
Выразим скорость вращения ω:
ω = tc / 2π.
ω = 2.2•10^6 с / (2π).
Теперь подставим значения и решим уравнение:
-(1/4) G (r^2)(dr/dt) = (1/5)(2/5)(2•10^30 кг)(7•10^8 м)^2 / (2.2•10^6 с)^2 ((2.2•10^6 с) / (2π))^2.
-(1/4) G (r^2)(dr/dt) = (1/5)(2/5)(2•10^30 кг)(7•10^8 м)^2 / (2.2•10^6 с)^2((2.2•10^6 с) / (2π))^2.
-(1/4) G (r^2)(dr/dt) = (1/5)(2/5)(2•10^30 кг)(7•10^8 м)^2 / (2.2•10^6 с)^2((2.2•10^6 с) / (2π))^2.
-(1/4) G (r^2)(dr/dt) = (1/5)(2/5)(2•10^30 кг)(49•10^16 м^2) / (2.2•10^6 с)^2((2.2•10^6 с) / (2π))^2.
-(1/4) G (r^2)(dr/dt) = (1/5)(2/5)(2•10^30 кг)(49•10^16 м^2) / (2.2•10^6 с)^2((2.2•10^6 с) / (2π))^2.
Уравнение достаточно сложное для точного численного решения, однако можно получить приближенное решение, используя численные методы или программу для решения дифференциальных уравнений.