K одному концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэфφциент трения груза по плоскости ? = 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.
I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А
Объяснение:
Решение
Ищем решение в виде суммы принужденного и свободного значений.
I = Iпр+ Iсв.
Рассчитав установившийся режим схемы (после коммутации), найдем
принужденное значение:
iCпр = 0; Iпр = iRпр = Ε/R = 0,2 А.
Для определения свободной составляющей тока составим характери-
стическое уравнение цепи.
p2LCR + pL + R = 0.
Подставив значения, получим
6,25·10-7p2 + 0,025 p +50 = 0.
Это уравнение имеет действительные корни
p1 = -37889 c-1, p2 = -2111 c-1.
Свободная составляющая решения имеет вид
Iсв = А е-37889 t + B e-2111t.
Для определения постоянных интегрирования А и В запишем для
начального момента времени (после коммутации) выражение для тока I
I(0) = Iпр(0) + Iсв(0) = 0,2 + А + В
и его производную
dI/dt |■(@t=0)=┤ (dI_пр)/dt |■(@t=0)+(dI_св)/(dt ) ├|■(@t=0)=0-37889A-2111B┤┤.
Согласно законам коммутации dI/dt |■(@t=0)=┤0. Получаем систему уравне-
ний A + B = - 0,2
-37889 A – 2111 В = 0.
Эта система имеет решение
A = 0,0118 A, B=-0,2118 A.
Ток через индуктивность равен
I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А
ответ: I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А