К пружине, верхний конец которой закреплён, подвешен груз массой 0,2 кг. Жёсткость пружины — 32 Н/м. В начальный момент времени груз оттягивают вниз от положения равновесия на 24 см, и ему сообщают скорость 1,8 м/с. Определи период и амплитуду вертикальных колебаний системы. При расчётах прими π=3,14.
Период колебаний пружинного маятника можно найти с помощью формулы:
T = 2π√(m/k),
где T - период колебаний, m - масса груза, k - жесткость пружины.
В нашем случае масса груза m = 0,2 кг, а жесткость пружины k = 32 Н/м.
Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем период:
T = 2π√(0,2/32) = 2π√(0,00625) = 2π * 0,079 = 0,497 секунды.
Теперь перейдем к вычислению амплитуды колебаний.
Амплитуду A можно найти, разделив начальную кинетическую энергию маятника на максимальную потенциальную энергию. Формула для начальной кинетической энергии mgh, а формула для максимальной потенциальной энергии (1/2)kA^2, где m - масса груза, g - ускорение свободного падения на Земле, h - высота отклонения, k - жесткость пружины, A - амплитуда колебаний.
В начальный момент времени, груз оттягивается на 24 см = 0,24 м и ему сообщают скорость 1,8 м/с.
Максимальная потенциальная энергия достигается, когда груз находится в крайней точке своего колебания, то есть на высоте A. Тогда максимальная потенциальная энергия равна (1/2)kA^2, где k - жесткость пружины, A - амплитуда колебаний.
Начальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии, так как при оттяжке груза только скорость изменяется, а полная механическая энергия остается постоянной.
mgh = (1/2)kA^2.
Подставляем значения:
0,2 * 9,8 * 0,24 = (1/2) * 32 * A^2.
Вычисляем:
4,904 = 16 * A^2.
Делим обе части уравнения на 16:
A^2 = 4,904 / 16.
Находим корень из обеих частей уравнения:
A = √(4,904 / 16) = √0,3065 = 0,554 м.
Таким образом, период колебаний системы равен 0,497 секунды, а амплитуда вертикальных колебаний составляет 0,554 м.