Человек стоит в центре скамьи Жуковского и держит в руках стержень массой m = 9 кг середины в горизонтальном положении. После поворота стержня в вертикальное положение скамейка меняет частоту вращения с n₁ = 40 мин⁻¹ до n₂ = 50 мин⁻¹. Определите длину Ι стержня, если суммарный момент инерции человека и скамьи J = 10 кг·м².
Первым шагом - мы должны найти начальный момент инерции I₁, когда стержень находится в горизонтальном положении. Для этого мы можем использовать формулу момента инерции для стержня, который вращается вокруг своей оси в середине:
I₁ = (1/12) * m * L₁²
Здесь m - масса стержня, а L₁ - его длина. Мы должны заметить, что стержень находится в горизонтальном положении, поэтому его длина не изменяется.
Вторым шагом - мы можем найти конечный момент инерции I₂, когда стержень находится в вертикальном положении. Для этого мы также можем использовать формулу момента инерции для стержня:
I₂ = (1/3) * m * L₂²
Здесь L₂ - длина стержня, которую нам нужно найти.
Третий шаг - мы можем использовать закон сохранения момента инерции, чтобы найти изменение момента инерции (ΔI) между начальным и конечным состоянием:
ΔI = I₂ - I₁
ΔI = (1/3) * m * L₂² - (1/12) * m * L₁²
Четвертый шаг - мы знаем, что суммарный момент инерции человека и скамьи J равен 10 кг·м². Поэтому мы можем записать уравнение:
J = ΔI
10 = (1/3) * m * L₂² - (1/12) * m * L₁²
Поскольку мы знаем, что масса стержня m = 9 кг, мы можем подставить это значение:
10 = (1/3) * 9 * L₂² - (1/12) * 9 * L₁²
10 = 3 * L₂² - L₁²
Пятым шагом - мы знаем, что частота вращения скамьи изменилась с n₁ = 40 мин⁻¹ до n₂ = 50 мин⁻¹. Мы можем использовать формулу связи момента инерции и частоты вращения:
n₂/n₁ = √(I₁/I₂)
50/40 = √(I₁/I₂)
√(9/10) = √(I₁/I₂)
Мы можем выразить отношение моментов инерции I₁ и I₂:
I₂/I₁ = (10/9)²
I₂ = I₁ * (10/9)²
Окончательный шаг - мы можем подставить значение I₂ в наше уравнение:
10 = 3 * L₂² - L₁²
10 = 3 * L₂² - (1/12) * 9 * L₂²
10 = 3 * L₂² - (3/4) * L₂²
10 = (9/4) * L₂²
Теперь мы можем найти длину стержня L₂, решив это уравнение:
L₂² = (4/9) * 10
L₂² = 40/9
L₂ = √(40/9)
L₂ ≈ 2.494 м
Итак, длина стержня Ι составляет примерно 2.494 метра.