Чтобы тело двигалось по окружности на него должно действовать центростремительное ускорение. Величина этого ускорения определяется выражением a = V²/R; здесь V – круговая (линейная) скорость движения тела, м/с; R – радиус окружности, м. Первая космическая скорость это такая минимальная скорость, при которой тело может вращаться вокруг планеты по круговой орбите сколь угодно долго не падая на планету (конечно, при отсутствии сил, тормозящих тело). При движении тела на высоте h центростремительным ускорением является ускорение свободного падения на этой высоте. Поскольку в соответствии с Законом Всемирного тяготения сила взаимодействия между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами, то и ускорение сводного падения на различных высотах будет соответствовать этому закону. Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности планеты (gп) будет больше ускорения свободного падения (gh) на высоте h во столько же раз, во сколько квадрат расстояния от этого тела до центра планеты (R + h ) больше квадрата радиуса планеты (R). Т.е. gп/gh = {(R + h )/R}². Отсюда gh = gп*{R/(R+h)}². Поскольку при движении тела на высоте h центростремительным ускорением будет являться ускорение свободного падения на этой же высоте, то можно записать уравнение gh = V²/(R+h). Или gп*{R/(R+h)}² = V²/(R+h). Отсюда V = R*√{gп/(R + h)}.
В конце хочу немного пояснить первую космическую скорость. Мое определение этой скорости, данное выше, «притянуто» к условию задачи и является не совсем корректным. Строго говоря, первая космическая скорость это такая минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся на планете, что бы вывести это тело на круговую, стационарную орбиту вокруг планеты. Таким образом, первая космическая скорость не зависит от высоты полета. А зависит только от ускорения свободного падения на поверхности планеты и от радиуса планеты. Скорость, зависящая от высоты полета, называется не первой космической, а орбитальной (или круговой) скоростью на какой-либо высоте полета. Так, например, для Земли можно найти по выведенной выше формуле первую космическую скорость, если принять h = 0. Тогда V = R*√(gп/R)= 6371000*√(9,81/6371000) = 7905,7 м/с С такой скоростью движутся вокруг Земли низколетящие спутники на высотах 250 – 500 км. А геостационарные спутники, которые неподвижно «вися» над поверхностью Земли на высоте около 36000 км, совершают полный оборот вокруг Земли за 24 часа, движутся вокруг Земли с орбитальной (круговой) скоростью чуть более 3 км/с.. Но, повторюсь, эта скорость не является первой космической на данной высоте, а является орбитальной или круговой для высоты 36000км..
Ускорение свободного падения рассчитывает по формуле:
g(h) = (G*M) / (r+h)².
где G - гравитационная постоянная (6,6742·10^(−11) м³с−2кг−1),
(6.67E-11)
M - масса Земли, М = 5,974•10^24 кг (5.97E+24)
r - полярный радиус Земли — 6 356 779 м,
h - высота над поверхностью Земли.
Подставив значения, получаем:
g = (6,6742·10^(−11)*5,974•10^24) / (6 356 779+6 356 779)² =
= 2,466779 м/с².
Показание динамометра на высоте, равной радиусу Земли:
F = 1,017294* 2,466779 = 2,509439 H.