Question

Два тела одинаковой массы М совершают гармонические колебания. Как соотносятся величины полной энергии этих колебаний, если амплитуда 1-ого колебания в 36 раз больше, чем у 2-ого, а частота в 4 раза меньше, по сравнению со 2-ым колебанием.

Answer 1

$E_1/E_2 = 81.$

Объяснение:

Полная механическая энергия тела выражается как сумма потенциальной и кинетической энергии тела: $E = E_{pot} + E_{kin}$

Так как совершаются гармонические колебания, то отсутствуют какие-либо силы сопротивления, значит, система консервативная и в ней должен выполняться закон сохранения энергии: $E_{pot} + E_{kin} = const$

При гармонических колебаниях можно найти такое положение тела, когда оно проходит положение равновесия, в этой точке потенциальная энергия зануляется, а кинетическая энергия максимальная, проще считать полную энергию в этом положении: $E = (E_{kin})_{max}$.

Гармонические колебания можно описать следующим законом движения: $x(t) = A\sin (\omega t + \varphi)$. Тогда кинетическая энергия тела равняется $E_{kin} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dx}{dt})^2 = \frac{m}{2}A^2\omega^2\cos^2(\omega t + \varphi).$ Максимальное значение этого выражение будет при равенстве квадрата косинуса 1. Следовательно, полная энергия тела есть $E = \frac{mA^2 \omega^2}{2}$.

$E_1/E_2 = (\frac{A_1}{A_2}\frac{\omega_1}{\omega_2})^2 = (\frac{36A_2}{A_2}\frac{\omega_1}{4\omega_1})^2 = (\frac{36}{4})^2 = 9^2 = 81.$