Question

Кольцо K и муфта M связаны легкой нитью. Муфту M перемещают со скоростью  v1=68 см/с по горизонтальной направляющей AB(см. рис. 21), при этом кольцо K движется  по гладкой проволоке CD, которая является дугой окружности радиуса R=1,9 м. В некоторый момент (см. рис.) нить составляет угол a(cos a =15/17) с направляющей AB и угол b (cos b =4/5) с касательной к CD.  В  рассматриваемый момент времени найдите:

а) скорость v2 кольца в лабораторной системе отсчёта,

б) скорость u относительную кольца в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с муфтой,

в) силу T натяжения нити.

Длина нити l=5R/3. Масса кольца m=0,1 кг. Направляющая AB и дуга CD закреплены в лаборатории. Система находится в горизонтальной плоскости.

Answer 1

а) Примем, что нить нерастяжима в продольном направлении. Рассмотрим движение нити. Она двигается сложным образом: одновременно вращательно и поступательно. Выделим составляющие каждой скорости: проекции на нить и на направление, перпендикулярное нити. Равенство проекций скоростей на направление, перпендикулярное нити, необязательно: нить может "изгибаться", то есть компоненты скоростей, которые вращают нить, не влияют на длину нити, однако составляющие, спроецированные на нить, влияют — они стремятся растянуть эту нить в продольном направлении. Нужно потребовать их равенство: $v_{1}\cos\alpha=v_{2}\cos\beta \Leftrightarrow v_{2}=\frac{v_{1}\cos\alpha}{\cos\beta} =75\;\textbf{cm/s}$

б) Прибавим к кольцу и муфте вектор $-\vec{v_{1}}$. Получим, что M неподвижна, а К движется по окружности с центром в точке M, поскольку расстояние между кольцом и муфтой постоянно. Поэтому вектор $\vec{u}$ перпендикулярен прямой, содержащей нить (вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к окружности). После нехитрой геометрии приходим к углу между вектором $-\vec{v_{1}}$ и вектором $\vec{v_{2}}$. Он равен $180^o-\alpha-\beta$. Итак, $\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}}=\vec{u}$. Возводя в квадрат, получаем: $v_{1}^2-2v_{1}v_{2}\cos(\alpha+\beta)+v_{2}^2=u^2$. После подстановки ранее найденных значений получаем $u=77\; \textbf{cm/s}$.

Впрочем, можно было и проще: заметим, что сумма проекции векторов  $-\vec{v_{1}}$ и $\vec{v_{2}}$ на прямую, содержащую нить, равна нулю. Поэтому, зная, что искомый вектор перпендикулярен этой прямой, можно сразу получить ответ: $u=v_{1}\sin\alpha+v_{2}\sin\beta=v_{1}\sin\alpha+\frac{v_{1}\cos\alpha\sin\alpha}{\cos\beta}$

в) Перейдем в систему отсчета, связанную с муфтой. Центростремительное ускорение кольца равно $\frac{u^2}{5R/3}$. Тогда искомая сила равна $T=\frac{mu^2}{5/3R}\approx 1,5\times 10^{-2}\;\textbf{N}$