Question

разобраться с задачей. Есть три точных заряда с массами m на непроводящей нити, они находятся в близи земли, между нитью и зарядами действует сила трения с коэффициентом трению мю. Одновременно на все три шарика наносят заряд q. Выразить максимальную скорость каждого шарика. Расстояние между любыми двумя соседними шариками совпадает и равно эль.​

Answer 1

$v_m_a_x=\sqrt{3kq^2\frac{1}{Lm}-4\sqrt{\frac{3}{2m} kq^2\mu g} +2\mu gL }$

Объяснение:

Постараемся решить эту задачу с позиций теоремы об изменении кинетической энергии (чтобы избежать решения нелинейного ОДУ второго порядка, которое непременно возникает при описании движения в кеплеровых полях). Потенциальная энергия правого крайнего заряда (учтем, что центральный заряд остается неподвижным, а крайний левый, в любой момент времени, находится на том же расстоянии от центрального что и правый в виду симметрии задачи) в поле центрального и крайнего левого зарядов

$W=q\phi _1+q\phi_2=k\frac{q^2}{x} +k\frac{q^2}{2x}=\frac{3}{2}k\frac{q^2}{x}$

Изменение потенциальной энергии заряда

$\Delta W=W(L)-W(x)=\frac{3}{2}kq^2(\frac{1}{L}-\frac{1}{x} )=\frac{3}{2}kq^2\frac{x-L}{xL}$

Работа, совершенная силой трения

$A=-\mu mg(x-L)$

Изменение кинетической энергии заряда (с учетом начального условия v(L)=0)

$\frac{mv^2}{2}=\Delta W+A=\frac{3}{2}kq^2\frac{x-L}{xL}-\mu mg(x-L)$

Кинетическая энергия обратится в ноль при х равном

$x=\frac{3}{2}\frac{kq^2}{\mu mgL}$ (1)- тело остановится, максимум скорости заключен где-то между L и этим значением координаты.

Приравнивая производную кинетической энергии к нулю, найдем точку экстремума

$x=\sqrt{\frac{3kq^2}{2\mu mg} }$ (2)

Подставляя найденную точку экстремума в выражение для кинетической энергии получим

$E_k_m_a_x=\frac{3}{2}kq^2\frac{1}{L}- \sqrt{\frac{3}{2}kq^2\mu mg } -\sqrt{\frac{3}{2}kq^2\mu mg }+\mu mgL=$

$=\frac{3}{2}kq^2\frac{1}{L}-2\sqrt{\frac{3}{2} kq^2\mu mg}+\mu mgL$ (3)

Максимальная скорость (несколько громоздко, из-за отсутствия исходных числовых данных)

$v_m_a_x=\sqrt{3kq^2\frac{1}{Lm}-4\sqrt{\frac{3}{2m} kq^2\mu g} +2\mu gL }$

Проведем проверку, допустим q=100 нКл, L=1 см, μ=0.4, g=10, m=0.001, график зависимости кинетической энергии от координаты, для таких начальных условий, показан на рисунке. Хорошо видно, что максимум кинетической энергии (а значит и максимум скорости достигается при х=0,18 и составляет 0,012 Дж, проверка по формулам (2) и (3) дает такие же результаты. Судя по графику, заряд остановится в точке с координатой х≈3,4 м, действительно, по (1)

$x=\frac{3}{2}\frac{9*10^9*10^-^1^4}{0.4*0.001*10*0.01}=3.375$ м, значит решение выполнено верно. Характерный линейный спад после максимума свидетельствует о том, что на больших расстояниях влияние кулоновских сил уже мало, и система движется по инерции, теряя постепенно свою энергию за счет выполнения работы против сил трения.