Question

Камень брошен горизонтально со скоростью 10м/с. Найти радиус кривизны траектории камня через время t = 4с после начала полёта

Answer 1

701 м

Объяснение:

Вектор ускорения в любой точке траектории можно разложить на две проекции - вдоль касательной и по нормали к траектории полета тела. Проекция на нормаль к траектории полета будет центростремительным ускорением, оно то нам и нужно. Через 4 секунды после начала полета, горизонтальная составляющая скорости никак не поменяется и будет равна 10 м/с, а вот вертикальная примет значение, равное:

$\displaystyle v_y=-gt=-10*4=-40$ м/с

Полная скорость направлена по касательной к траектории в указанной точке и равна:

$\displaystyle v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{10^2+(-40)^2}=\sqrt{1700}$ м/с

Косинус интересующего нас угла между вертикальной составляющей скорости и направлением нормали к траектории:

$\displaystyle cos\alpha =\frac{v_0}{v} =\frac{10}{\sqrt{1700} }$

Величина центростремительного ускорения:

$\displaystyle a_n=gcos\alpha =\frac{100}{\sqrt{1700} }$ м/с²

Величина радиуса кривизны траектории:

$\displaystyle a_n=\frac{v^2}{R}= R=\frac{v^2}{a_n}=\frac{1700\sqrt{1700} }{100} \approx 701$ м.

Answer 2

Через время t у скорости v помимо неизменной горизонтальной прoекции Vx появится и вертикальная: Vy = gt. Модуль вектора скорости, направленного по касательной к траектории равен тогда:

V=\sqrt{v_{x}^2+g^2t^2}.V=vx2+g2t2.

Пусть  а  - угол между вектором V и горизонталью.

Тогда:  cosa=\frac{V_{x}}{V}=\frac{V_{x}}{\sqrt{V_{x}^2+g^2t^2}}.cosa=VVx=Vx2+g2t2Vx.

Ускорение g имеет и тангенциальную и нормальную составляющие.

a_{n}=g*cosa,an=g∗cosa,   - нормальное ускорение.

С другой стороны:  a_{n}=\frac{V^2}{R}.an=RV2.

g\frac{V_{x}}{V}=\frac{V^2}{R},\ \ \ \ \ R=\frac{V^3}{gV_{x}}.gVVx=RV2,     R=gVxV3.

R\ =\ \frac{(\sqrt{V_{x}^2+g^2t^2})^3}{gV_{x}}.R = gVx(Vx2+g2t2)3.

R\ =\ \frac{(\sqrt{100+900})^3}{10*10}\approx316\ m.R = 10∗10(100+900)3≈316 m.

ответ: 316 м (примерно).