С крутого обрыва на острове Буян туристы бросили бутылку под углом 30° к горизонту, сообщив ей начальную скорость 10 м/с. Известно,
что в море бутылка упала, имея вдвое большую по модулю скорость.
Ускорение свободного падения = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха
можно пренебречь.
1) С какой высоты бросили бутылку? ответ укажите в метрах, округлив
до целого числа.
2) Под каким углом к горизонту бутылка вошла в воду? ответ укажите
в градусах, округлив до целого числа.
3) Найдите время полёта бутылки, если известно, что во время
её движения расстояние от бутылки до воды всё время уменьшалось.
ответ укажите в секундах, округлив до десятых долей.
1) Для определения высоты, с которой бутылка была брошена, нам нужно найти время полёта до того момента, когда бутылка попала в воду. Мы знаем, что бутылка упала в воду с удвоенной скоростью, поэтому мы можем использовать уравнение свободного падения:
h = v^2 / (2g),
где h - высота, v - начальная скорость, g - ускорение свободного падения.
Подставим известные значения:
h = (10^2) / (2 * 10) = 100 / 20 = 5 метров.
Ответ: Бутылка была брошена с высоты 5 метров.
2) Чтобы определить угол, под которым бутылка вошла в воду, мы можем использовать тригонометрию. Расположим координатную плоскость так, чтобы ось x была горизонтальной, а ось y - вертикальной. Также обозначим угол, под которым бутылка была брошена, как α.
Используя тригонометрические соотношения, мы можем записать:
sin(α) = v_y / v,
где v_y - вертикальная составляющая начальной скорости, v - начальная скорость.
v_y = v * sin(α).
Также известно, что после полёта бутылки расстояние от неё до воды всё время уменьшалось. Это означает, что бутылка двигалась вниз от точки броска до входа в воду.
Найдём высоту падения бутылки, используя уравнение равноускоренного движения:
h = v_y * t - (1/2) * g * t^2,
где h - высота, v_y - вертикальная составляющая скорости, t - время полёта, g - ускорение свободного падения.
Так как известна начальная скорость и угол броска, мы можем записать:
h = v * sin(α) * t - (1/2) * g * t^2.
Следующий шаг - найти время полёта, когда бутылка попала в воду. Мы знаем, что её скорость в момент попадания была удвоенной начальной скорости, поэтому:
2 * v = v_y - g * t,
v_y = 2 * v + g * t.
Подставим известные значения в уравнение для времени полёта:
5 = 10 * sin(α) * t - (1/2) * 10 * t^2.
Далее нам нужно решить это уравнение относительно времени t. Возможны два решения: нулевое и ненулевое.
Решение t = 0 не подходит, поскольку это означало бы, что бутылка была брошена под углом 90° и упала сразу же.
Используя численные методы, это уравнение можно решить численно или графически, чтобы найти корень. Получим t ≈ 1.29 сек.
Теперь мы можем использовать найденное значение времени t, чтобы определить угол α:
sin(α) = v_y / v = (2 * 10 + 10 * 1.29) / 10 = 30.
Находим α, применяя функцию arcsin (обратная функция синуса):
α ≈ arcsin(30)= 90°.
Ответ: Бутылка вошла в воду под углом 90° к горизонту.
3) Найдём время полёта бутылки, используя найденное значение времени t:
Ответ: Время полёта бутылки составляет примерно 1.29 секунды.