На покоящейся круглой платформе массой 2т радиусом 3 м находится человек массой 60 кг. Платформа может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек будет бежать по окружности радиусом 2 м, концентричной платформе, со скоростью 2.5 м/с относительно платформы?
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Момент импульса - это произведение массы тела на его угловую скорость и момент инерции.
1. Выразим момент инерции платформы с человеком. Момент инерции и платформы с человеком равен сумме моментов инерции платформы относительно её центра и человека относительно оси вращения.
Момент инерции платформы (Iп) известен и равен масса * радиус^2, то есть 2т * (3м)^2 = 18т * м^2.
Момент инерции человека (Iч) равен масса * радиус^2, то есть 60кг * (2м)^2 = 240кг * м^2.
Тогда общий момент инерции (Iобщ) равен Iп + Iч = 18000кг * м^2 + 240кг * м^2 = 18240кг * м^2.
2. Запишем закон сохранения момента импульса до начала и после начала бега человека. До начала бега момент импульса платформы с человеком должен быть равен нулю, так как платформа находится в покое. После начала бега момент импульса платформы с человеком должен сохраниться.
Момент импульса платформы с человеком до начала бега: Lдо = Iобщ * ωдо, где Lдо = 0 (так как момент импульса равен нулю), Iобщ = 18240кг * м^2, ωдо - угловая скорость платформы до начала бега.
Момент импульса платформы с человеком после начала бега: Lпосле = Iобщ * ωпосле, где Lпосле - момент импульса после начала бега (сохраняется), Iобщ = 18240кг * м^2, ωпосле - угловая скорость платформы после начала бега.
Из условия задачи известно, что скорость человека относительно платформы равна 2.5 м/с и радиус окружности, по которой он бежит, равен 2 м. То есть он проходит окружность за время 2s, где s - путь, который он проходит по окружности.
Угловая скорость человека (ωч) равна скорость / радиус, то есть ωч = 2.5 м/с / 2 м = 1.25 1/с.
Угловая скорость платформы после начала бега (ωпосле) должна быть такой, чтобы момент импульса после начала бега оставался равным моменту импульса до начала бега. То есть Iобщ * ωдо = Iобщ * ωпосле, или ωдо = ωпосле.
Заметим, что ωпосле = ωч, так как платформа вращается вместе с человеком после начала бега.
Тогда ωдо = ωпосле = 1.25 1/с.
3. Таким образом, платформа начинает вращаться с угловой скоростью 1.25 1/с.
Итак, ответ: платформа начнет вращаться с угловой скоростью 1.25 1/с, если человек будет бежать по окружности радиусом 2 м, концентричной платформе, со скоростью 2.5 м/с относительно платформы.