Дано:
X = A*sin(ωt)
Y = A*(1 - cos(ωt))
A = 1,5 см
ω = 0,5 с^-1
t = 5 c
s - ?
Если подставить в уравнения координат начальный момент времени t = 0, то получим начальное положение точки:
Х = А*sin(ω*0) = A*sin(0) = 0
Y = A*(1 - cos(ω*0)) = A*(1 - cos(0)) = A*(1 - 1) = 0
Значит, точка находилась в начале системы координат. Очевидно, что при заданных уравнениях координат движение точки раскладывается на колебательное вдоль оси Х и такое же - вдоль оси Y. Полное движение - вращательное. Также очевидно то, что через 5 секунд точка не будет находится на какой-то из осей координатной системы, т.к. Х и Y будут больше нуля. Точка будет над осью Х и справа от оси Y. Следовательно, перемещение мы можем найти по правилу Пифагора - им будет являться гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катетами являются отрезки, отложенные от начала системы координат. Длины отрезков равны значению координат X и Y в момент времени t = 5 c.
с² = а² + b²
s² = X² + Y² = A²*sin²(ω*t) + A²*(1 - cos(ω*t))² = A²*(sin²(ω*t) + 1 - 2*cos(ω*t) + cos²(ω*t)) = A²*(1 + 1 - 2*cos(ω*t)) = A²*2*(1 - cos(ω*t)) =>
=> s = A*√(2*(1 - cos(ω*t))) = 1,5*√(2*(1 - cos(0,5*5))) = 1,5*√(2*(1 - cos(2,5))) = 1,5*√2*(1 - (-0,8))) = 1,5*√(2*1,8) = 2,8460... = 2,8 см
ответ: 2,8 см.
Дано:
m = 2 кг
М = 6 кг
g = 10 м/с²
Т - ?
Предполагается, что нить лёгкая и нерастяжимая. Значит оба блока будут двигаться с одинаковыми ускорениями, т.е.:
а1 = а2 = а
Также предполагается, что блок является невесомым (просят найти силу натяжения, но не указывают какую именно - которая действует на первый груз, или ту, которая действует на второй). Если блок невесомый, то у него нет момента инерции (момент инерции зависит от массы). Следовательно, сумма моментов всех сил, которые действуют на блок, равна нулю. Это вытекает из главного уравнения динамики вращательного движения:
ΣМ = Ι*ε,
где Ι - момент инерции, ε - угловое ускорение
Т.к. Ι = 0, то:
ΣΜ = 0*ε = 0
Ну а если сумма моментов сил равна нулю, то моменты сил равны друг другу (здесь только два момента - момент силы натяжения Т1 и момент силы натяжения Т2; сила трения по условию не действует, значит её момент равен нулю). Точка вращения блока - его центр, и значит плечи сил равны. А если так, то равны и сами силы. На блок действуют только силы натяжения Т1 и Т2. Выходит, что
Т1 = Т2 = Т
Ну а дальше просто пишем уравнения по второму закону Ньютона для каждого из грузов. Рассматриваем только вертикальную ось. Направим её вверх. Тогда:
Т - mg = ma
T - Mg = -Ma
Можем поделить одно уравнение на другое, можем выразить ускорение из каждого уравнения и приравнять выражения. Выберем первый вариант, предварительно избавив от минуса Ма:
Т - mg = ma
Мg - Т = Ма
ma/Ma = (T - mg)/(Мg - Т)
m/M = (T - mg)/(Mg - Т)
(m/M)*(Mg - Т) = T - mg
m*(Mg - Т) = M*(T - mg)
Mmg - Тm = TM - Mmg
TM + Tm = Mmg + Mmg
T*(M + m) = 2Mmg
T = 2Mmg/(M + m) = 2*6*2*10/(6 + 2) = 4*6*10/8 = 6*10/2 = 6*5 = 30 H
ответ: А) 30 Н.