Уравнение движения точки по прямой имеет вид x = 2 + 6t - t² (м). Найти:
Путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 = 4 с.
Среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток.
Скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Подробно
Для решения данной задачи, нам понадобятся понимание уравнения движения и некоторые физические понятия, такие как путь, перемещение, скорость и ускорение. Давай разбираться по порядку.
1. Путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 = 4 с.
Уравнение движения точки по прямой дано в виде x = 2 + 6t - t² (м). Чтобы найти путь, нужно проинтегрировать данное уравнение по времени от t1 до t2.
Интегрируем по времени:
∫(x dt) = ∫(2 + 6t - t² dt)
Получаем:
s = 2t + 3t²/2 - t³/3 + C
Теперь подставим значения т2 и t1:
s = 2*4 + 3*4²/2 - 4³/3 + C - (2*2 + 3*2²/2 - 2³/3 + C)
s = 8 + 24 - 64/3 + C - (4 + 3*2 - 8/3 + C)
s = 8 + 24 - 64/3 + C - 4 - 6 + 8/3 - C
C сокращаются:
s = 8 - 4 + 24 - 6 + 8/3 - 64/3
s = 5 + 18/3 - 56/3
s = 5 - 38/3
s = 15/3 - 38/3
s = -23/3
Таким образом, путь точки за указанный промежуток времени составляет -23/3 метра.
Перемещение - это разница между начальным и конечным положением точки. Начальное положение точки при t = t1 = 2 с:
x1 = 2 + 6t1 - t1² = 2 + 6*2 - 2² = 2 + 12 - 4 = 10 м
Конечное положение точки при t = t2 = 4 с:
x2 = 2 + 6t2 - t2² = 2 + 6*4 - 4² = 2 + 24 - 16 = 10 м
Перемещение = x2 - x1 = 10 - 10 = 0 метров.
Таким образом, перемещение точки за указанный промежуток времени равно нулю.
2. Средняя скорость и среднее ускорение точки за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 = 4 с.
Средняя скорость - это отношение перемещения к промежутку времени. Мы уже нашли, что перемещение равно 0 м, а промежуток времени равен (t2 - t1) = (4 - 2) с = 2 с.
Средняя скорость = перемещение / промежуток времени = 0 м / 2 с = 0 м/с.
Среднее ускорение - это отношение изменения скорости к промежутку времени. У нас нет информации об изменении скорости, поэтому нельзя вычислить среднее ускорение за указанный промежуток времени.
Таким образом, средняя скорость равна 0 м/с, а среднее ускорение невозможно вычислить.
3. Скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Чтобы найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с, мы должны производную от уравнения движения по времени и подставить t = 2 с.
Уравнение движения точки по прямой: x = 2 + 6t - t² (м)
Производная по времени: v = dx/dt = d(2 + 6t - t²)/dt = 6 - 2t (м/с)
Подставляем t = 2 с:
v = 6 - 2*2 = 6 - 4 = 2 м/с
Таким образом, скорость точки в момент времени t = 2 с равна 2 м/с.
Для нахождения ускорения производим вторую производную по времени:
a = dv/dt = d(6 - 2t)/dt = -2 (м/с²)
Таким образом, ускорение точки в момент времени t = 2 с равно -2 м/с².
Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся задавать их. Удачи в учёбе!