Напишите уравнение гармонических колебаний точки, если их амплитуда А=10 см. , максимальная скорость точки v(max)=0,2 м/с, начальная фаза колебаний = П/3. Желательно с объяснением.
Уравнение гармонических колебаний точки можно записать в виде:
x(t) = A * sin(ωt + φ)
где:
x(t) - координата точки в момент времени t,
A - амплитуда колебаний, в данном случае A = 10 см,
ω - угловая частота колебаний,
t - время,
φ - начальная фаза колебаний.
Так как у нас дана амплитуда A = 10 см, то можем сразу ее подставить в уравнение:
x(t) = 10 * sin(ωt + φ)
Из условия также известно, что максимальная скорость точки v(max) = 0,2 м/с. Максимальная скорость точки достигается, когда синусоида находится в крайнем положении. В этих точках происходит переход колебаний от движения в одну сторону к движению в обратную сторону. В этих точках скорость равна максимальной, а ускорение равно нулю.
Скорость точки можно найти, взяв производную по времени от уравнения гармонических колебаний:
v(t) = A * ω * cos(ωt + φ)
Подставим в это уравнение значения из условия:
0,2 = 10 * ω * cos(ωt + П/3)
Из этого уравнения можно найти угловую частоту ω. Для этого разделим обе части уравнения на 10 и подставим t = 0, чтобы избавиться от времени:
0,02 = ω * cos(П/3)
cos(П/3) = 0,5 (так как cos(П/3) = 1/2)
Теперь получаем:
0,02 = ω * 0,5
ω = 0,02 / 0,5
ω = 0,04 рад/с
Таким образом, угловая частота колебаний точки равна 0,04 рад/с.
Теперь, зная угловую частоту, можно написать уравнение гармонических колебаний точки полностью:
x(t) = A * sin(ωt + φ)
где:
x(t) - координата точки в момент времени t,
A - амплитуда колебаний, в данном случае A = 10 см,
ω - угловая частота колебаний,
t - время,
φ - начальная фаза колебаний.
Так как у нас дана амплитуда A = 10 см, то можем сразу ее подставить в уравнение:
x(t) = 10 * sin(ωt + φ)
Из условия также известно, что максимальная скорость точки v(max) = 0,2 м/с. Максимальная скорость точки достигается, когда синусоида находится в крайнем положении. В этих точках происходит переход колебаний от движения в одну сторону к движению в обратную сторону. В этих точках скорость равна максимальной, а ускорение равно нулю.
Скорость точки можно найти, взяв производную по времени от уравнения гармонических колебаний:
v(t) = A * ω * cos(ωt + φ)
Подставим в это уравнение значения из условия:
0,2 = 10 * ω * cos(ωt + П/3)
Из этого уравнения можно найти угловую частоту ω. Для этого разделим обе части уравнения на 10 и подставим t = 0, чтобы избавиться от времени:
0,02 = ω * cos(П/3)
cos(П/3) = 0,5 (так как cos(П/3) = 1/2)
Теперь получаем:
0,02 = ω * 0,5
ω = 0,02 / 0,5
ω = 0,04 рад/с
Таким образом, угловая частота колебаний точки равна 0,04 рад/с.
Теперь, зная угловую частоту, можно написать уравнение гармонических колебаний точки полностью:
x(t) = 10 * sin(0,04t + П/3)
где t - время в секундах.