Question

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 10–9 мкФ, катушки индуктивности L = 0,23 Гн и сопротивления R = 40 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества
q=5.6*10^-4 Кл. Записать для данного контура уравнение, описывающее изменение заряда на обкладках конденсатора.

Answer 1

Для записи уравнения, описывающего изменение заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре, мы можем использовать закон Кирхгофа для контура, а именно правило Кирхгофа для изменения энергии. Это правило гласит, что общая сила электромагнитного поля в контуре равна нулю.

Изначально у нас есть значение заряда на обкладках конденсатора q=5.6*10^-4 Кл и надо найти уравнение, которое описывает его изменение.

В колебательном контуре могут возникать два вида энергии: электрическая энергия на обкладках конденсатора и магнитная энергия в катушке индуктивности. При этом, эти два вида энергии будут переходить друг в друга в процессе колебаний.

Рассмотрим, как изменяются эти две виды энергии.

Электрическая энергия на обкладках конденсатора Wc равна (1/2)*C*U^2, где С - емкость конденсатора, U - напряжение на обкладках конденсатора.

Магнитная энергия в катушке индуктивности Wl равна (1/2)*L*I^2, где L - индуктивность катушки, I - сила тока, протекающего через катушку.

Для нахождения уравнения, описывающего изменение заряда на обкладках конденсатора, нам надо учесть изменение электрической и магнитной энергии за время dt, равное приращению времени.

При изменении электрической энергии за время dt величина ее изменения равна мощности P, потраченной на этот процесс: dWc/dt = P.

Мощность P определяется как производная от электрической энергии по времени: P = dWc/dt = d((1/2)*C*U^2)/dt.

Магнитная энергия также может меняться за время dt, и это изменение тоже равно мощности P: dWl/dt = P.

Магнитная энергия изменяется согласно закону Ленца: dWl/dt = -R*I^2, где R - сопротивление контура.

Теперь нам надо связать эти изменения энергий с изменением заряда на обкладках конденсатора.

Мы знаем, что U = q/C, где q - заряд на обкладках конденсатора, C - его емкость.

Подставляя это выражение для U в уравнение для мощности P и для dWl/dt, получим:

dWc/dt = d((1/2)*C*(q/C)^2)/dt,

dWl/dt = -R*I^2,

где I = dq/dt - ток, протекающий через катушку, который равен производной заряда по времени.

Подставляя значение заряда и заменяя производную заряда по времени dq/dt на I, получим:

dWc/dt = d((1/2)*C*(q/C)^2)/dt = d((1/2)*C*(q^2/C^2))/dt = (1/2)*C*(2*q*(dq/dt)*C^-2) = C*(q*I)*C^-2 = q*I/C,

dWl/dt = -R*(dq/dt)^2 = -R*I^2.

Теперь мы можем приравнять эти два выражения для мощности P: q*I/C = -R*I^2.

Поделив обе части этого уравнения на I, получим:

q/C = -R*I.

Таким образом, у нас получается уравнение, описывающее изменение заряда на обкладках конденсатора:

q/C = -R*I.

Это уравнение связывает заряд на обкладках конденсатора с током, протекающим через катушку индуктивности в колебательном контуре.

Надеюсь, данное объяснение было для вас понятным и полезным! Если возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать.