Для решения данного неравенства сначала приведем все выражения к одной основе. В данном случае мы можем привести все выражения к основе 2, так как нам дано число 2 перед скобками слева.
2(8^x+50^x) > 20^x + 3*125^x
Для начала раскроем скобки слева:
2*8^x + 2*50^x > 20^x + 3*125^x
Заметим, что 8 может быть выражено как 2^3, а 50 может быть выражено как 2*5^2:
2*2^(3x) + 2*(2*5^2)^x > 20^x + 3*(5^3)^x
Теперь у нас все выражения находятся в одной основе 2.
Далее, чтобы решить данное неравенство, мы можем применить замену переменной. Обозначим 2^x как a, а 5^x как b. Тогда наше неравенство можно переписать следующим образом:
2*a^3 + 2*(2b)^2 > (2a)^2 + 3*b^3
Подсчитаем это выражение:
2a^3 + 2*(2b)^2 > (2a)^2 + 3*b^3
2a^3 + 2*4b^2 > 4a^2 + 3b^3
2a^3 + 8b^2 > 4a^2 + 3b^3
3b^3 - 8b^2 + 4a^2 - 2a^3 < 0
Мы получили кубическое уравнение. Теперь нам нужно решить его.
Для начала вынесем общий множитель:
b^2(3b - 8) + 2a^2(2 - a) < 0
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
1) b^2(3b - 8): для этого слагаемого нам необходимо определить значения b, при которых оно меньше нуля. Мы заметим, что у него есть два корня: b = 0 и b = 8/3.
2) 2a^2(2 - a): для этого слагаемого мы также будем искать значения a, при которых оно меньше нуля. Мы заметим, что у него есть два корня: a = 0 и a = 2.
Теперь мы можем построить таблицу знаков для каждого слагаемого:
2(8^x+50^x) > 20^x + 3*125^x
Для начала раскроем скобки слева:
2*8^x + 2*50^x > 20^x + 3*125^x
Заметим, что 8 может быть выражено как 2^3, а 50 может быть выражено как 2*5^2:
2*2^(3x) + 2*(2*5^2)^x > 20^x + 3*(5^3)^x
Теперь у нас все выражения находятся в одной основе 2.
Далее, чтобы решить данное неравенство, мы можем применить замену переменной. Обозначим 2^x как a, а 5^x как b. Тогда наше неравенство можно переписать следующим образом:
2*a^3 + 2*(2b)^2 > (2a)^2 + 3*b^3
Подсчитаем это выражение:
2a^3 + 2*(2b)^2 > (2a)^2 + 3*b^3
2a^3 + 2*4b^2 > 4a^2 + 3b^3
2a^3 + 8b^2 > 4a^2 + 3b^3
3b^3 - 8b^2 + 4a^2 - 2a^3 < 0
Мы получили кубическое уравнение. Теперь нам нужно решить его.
Для начала вынесем общий множитель:
b^2(3b - 8) + 2a^2(2 - a) < 0
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
1) b^2(3b - 8): для этого слагаемого нам необходимо определить значения b, при которых оно меньше нуля. Мы заметим, что у него есть два корня: b = 0 и b = 8/3.
2) 2a^2(2 - a): для этого слагаемого мы также будем искать значения a, при которых оно меньше нуля. Мы заметим, что у него есть два корня: a = 0 и a = 2.
Теперь мы можем построить таблицу знаков для каждого слагаемого:
| b^2 | 3b - 8 | 2a^2 | 2 - a |
----------------------------------------
b < 0 | + | - | + | + |
0 < b < 8/3 | + | - | + | - |
b > 8/3 | + | + | + | - |
| b^2 | 3b - 8 | 2a^2 | 2 - a |
----------------------------------------
a < 0 | + | - | + | + |
0 < a < 2 | + | - | + | - |
a > 2 | + | + | + | - |
Теперь объединим таблицы знаков для b и a. У нас существуют области, где оба слагаемых меньше нуля, так как они имеют одинаковые знаки.
| b^2 | 3b - 8 | 2a^2 | 2 - a |
----------------------------------------
b < 0, a < 0 | + | - | + | + |
0 < b < 8/3, a < 0 | + | - | + | - |
0 < b < 8/3, 0 < a < 2 | + | - | + | + |
0 < b < 8/3, a > 2 | + | - | + | - |
b > 8/3, a < 0 | + | + | + | + |
b > 8/3, 0 < a < 2 | + | + | + | + |
b > 8/3, a > 2 | + | + | + | - |
Теперь мы можем определить значения b и a, при которых неравенство меньше нуля:
0 < b < 8/3, 0 < a < 2
Таким образом, мы можем заключить, что неравенство истинно при значениях x, таких что 0 < x < 2.