закон архимеда есть следствие закона паскаля - что жидкость (и газ) оказываемое на них давление по всем направлениям без изменения. вот если взять и написать интеграл от давления жидкости по поверхности тела, то как раз и окажется, что всё, что "сбоку" (горизонтальные составляющие силы давления), уравновешивается, а то, что "сверху" и "снизу" (вертикальные составляющие), - нет. и окажется этот интеграл, в полном соответствии с теоремой остроградского-гаусса (появившейся на два века позже закона паскаля и на пару тысячелетий позже архимеда), весу жидкости, заключённому в объёме тела. вот и всё.
гидравлическая машина даёт выигрыш в силе:F2/F1=S2/S1,S2=V/h2,S1=V/h1
V-объём жидкости перетекшей из малого поршня в большой:
S2/S1=V/h2:V/h1=V/h2•h1/V=h1/h2,
F2/F1=h1/h2,mg/F1=24см/4см=6
F1=mg/6=300H/6=500H