Чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости точки по времени (от времени t=0 до t=3).
Для начала, нам нужно найти скорость точки. Для этого надо взять производную от функции x=2t^3 - 9t^2 + 12t.
x'(t) = 6t^2 - 18t + 12.
Теперь, чтобы найти скорость, нужно найти модуль этого выражения: |x'(t)|.
|x'(t)| = |6t^2 - 18t + 12|.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt.
Давайте разобьем этот интеграл на части, чтобы его было проще вычислить.
Для решения данной задачи нам понадобятся следующие данные:
- Диаметр пучка света, d = 9 см
- Фокусное расстояние линзы, F = 24 см
- Площадь светового пятна на экране, S = 255 см²
Чтобы определить на каком расстоянии от линзы площадь светового пятна будет равна заданной величине, мы можем использовать формулу для площади светового пятна на экране:
S = pi * (d/2)^2 * (D / (D - F))^2,
где S - площадь светового пятна на экране, d - диаметр пучка света, D - расстояние от линзы до экрана, F - фокусное расстояние линзы.
Для начала, подставим известные значения в формулу:
255 = pi * (9/2)^2 * (D / (D - 24))^2.
Теперь решим полученное уравнение относительно D. Для этого проведем следующие математические преобразования.
Перенесем все величины с диаметром и фокусным расстоянием в одну часть уравнения:
(D / (D - 24))^2 = 255 / (pi * (9/2)^2).
Затем, избавимся от квадрата, применив корень к обеим сторонам уравнения:
D / (D - 24) = sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)).
Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе стороны уравнения на (D - 24):
D = (D - 24) * sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)).
Полученное уравнение является квадратным. Разрешим его:
D = D * sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)) - 24 * sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)).
Теперь избавимся от переменных, перенеся все значения D в одну часть уравнения:
D - D * sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)) = -24 * sqrt(255 / (pi * (9/2)^2)).
Подставив значения в эту формулу, мы найдем расстояние от линзы до экрана, на котором площадь светового пятна будет равна заданной величине. Результат округлим до целого числа.
Для начала, нам нужно найти скорость точки. Для этого надо взять производную от функции x=2t^3 - 9t^2 + 12t.
x'(t) = 6t^2 - 18t + 12.
Теперь, чтобы найти скорость, нужно найти модуль этого выражения: |x'(t)|.
|x'(t)| = |6t^2 - 18t + 12|.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt.
Давайте разобьем этот интеграл на части, чтобы его было проще вычислить.
∫(от t=0 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt = ∫(от t=0 до t=1) |6t^2 - 18t + 12| dt + ∫(от t=1 до t=2) |6t^2 - 18t + 12| dt + ∫(от t=2 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt.
Теперь давайте посчитаем каждый интеграл по отдельности.
1. ∫(от t=0 до t=1) |6t^2 - 18t + 12| dt:
Мы можем разделить этот интеграл на два интеграла, чтобы избавиться от модуля внутри:
∫(от t=0 до t=1) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=0.
∫(от t=0 до t=1) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=0 до t=1) = (2*1^3 - 9*1^2 + 12*1) - (2*0^3 - 9*0^2 + 12*0) = 2 - 9 + 12 = 5.
2. ∫(от t=1 до t=2) |6t^2 - 18t + 12| dt:
Опять же, разделим это на два интеграла:
∫(от t=1 до t=2) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=1.
∫(от t=1 до t=2) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=1 до t=2) = (2*2^3 - 9*2^2 + 12*2) - (2*1^3 - 9*1^2 + 12*1) = 16 - 36 + 24 - 2 + 9 - 12 = -11.
3. ∫(от t=2 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt:
И снова разделим на два интеграла:
∫(от t=2 до t=3) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=2.
∫(от t=2 до t=3) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=2 до t=3) = (2*3^3 - 9*3^2 + 12*3) - (2*2^3 - 9*2^2 + 12*2) = 54 - 81 + 36 - 16 + 36 - 24 = 5.
Теперь сложим результаты трех интегралов:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt = ∫(от t=0 до t=1) |x'(t)| dt + ∫(от t=1 до t=2) |x'(t)| dt + ∫(от t=2 до t=3) |x'(t)| dt = 5 + (-11) + 5 = -1.
Таким образом, путь пройденный точкой за первые 3 секунды движения составляет -1 метр.