Question

На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз шарик. определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время t, а за время между двумя последовательными ударами об пол проходит путь l относительно земли.

Answer 1

По условию задачи шарик после каждого удара о пол кабины поднимается на максимальную высоту относительно пола за одно и то же время . Если, как обычно, пренебречь влиянием воздуха на движение шарика, то согласно закону свободного падения можно утверждать, что в промежутках времени между ударами шарик движется относительно земли с ускорением свободного падения . Поскольку лифт относительно земли движется равномерно, то и по отношению к полу лифта в указанные промежутки времени шарик движется с тем же ускорением. Следовательно, непосредственно после удара скорость шарика относительно пола кабины должна быть равна , и шарик за время подъема относительно пола кабины должен подняться на высоту. Отсюда следует, что непосредственно перед следующим ударом о пол скорость шарика должна быть направлена вертикально вниз, а ее величина относительно пола кабины должна быть равна , т.е. в результате удара скорость шарика относительно пола должна изменять лишь свое направление на противоположное. Следовательно, удар шарика о пол должен быть идеально упругим, а со стороны тросов, поднимающих кабину лифта вверх, на нее должны действовать силы, обеспечивающие ее равномерное движение.Пусть кабина поднимается вверх со скоростью  относительно земли, а шарик непосредственно после очередного удара о пол кабины находился на высоте  над землей. Поскольку в этот момент скорость шарика относительно земли согласно сказанному выше равна , шарик относительно земли, совершая свободное падение, будет двигаться вверх в течение промежутка времени  и поднимется на высоту , а затем начнет двигаться вниз и через промежуток времени  после предыдущего удара вновь ударится о пол кабины. К этому моменту времени пол кабины должен достигнуть высоты . Следовательно, между двумя ударами о пол путь, пройденный шариком относительно земли, равен. Подставляя в это выражение ранее найденные значения высот  и , определим искомую скорость лифта:


Из этого выражения следует, что задача имеет решение, если исходные данные удовлетворяют условию: . При невыполнении этого условия в рамках сделанных предположений задача не имеет решения.  ответ; при  решений нет.