Question

Диск кинули під кутом 45° до горизонту з початковою швидкістю 20м/с. Впродовж якого проміжку часу швидкість диска буде напрямлена під кутом, меншим за 30°?​

Answer 1

Для решения данной задачи мы будем использовать знания о векторной алгебре и тригонометрии.

Первым шагом нужно разложить начальную скорость диска на его горизонтальную и вертикальную составляющие. Поскольку диск бросили под углом 45° к горизонту, то горизонтальная составляющая будет равна вертикальной составляющей и будет равняться \(20 \, \text{м/с} \cdot \cos(45°)\). Так как \(\cos(45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то горизонтальная составляющая скорости равна \(20 \, \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2} \, \text{м/с}\).

Вторым шагом нужно посмотреть момент, когда вертикальная составляющая скорости станет меньше, чем горизонтальная составляющая, и будет направлена под углом меньше 30° к горизонту.

Для этого мы можем использовать соотношение \(v_y = v \cdot \sin(\theta)\), где \(v_y\) - вертикальная составляющая скорости, \(v\) - начальная скорость, \(\theta\) - угол между начальной скоростью и горизонтом. Также нам известно, что \(v_y = 10 \sqrt{2} \, \text{м/с}\).

Подставим известные значения в уравнение \(10 \sqrt{2} = 20 \cdot \sin(\theta)\) и решим его относительно \(\theta\):

\[
\begin{align*}
10 \sqrt{2} &= 20 \cdot \sin(\theta) \\
\sin(\theta) &= \frac{10 \sqrt{2}}{20} \\
\sin(\theta) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{align*}
\]

Так как \(\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(\theta = 45°\), то вертикальная составляющая будет направлена под углом 45° к горизонту в тот же момент времени, когда горизонтальная составляющая равна \(10 \sqrt{2} \, \text{м/с}\).

Теперь нам нужно найти время, в течение которого вертикальная составляющая остается меньше, чем горизонтальная составляющая и направлена под углом меньше, чем 30°.

Мы знаем, что каждая составляющая скорости изменяется линейно со временем. То есть мы можем сравнивать их значения в любой момент времени. Задачу удобно решать, используя временной интервал, начинающийся с момента, когда вертикальная составляющая равна горизонтальной составляющей и угол составляет 45°, и заканчивающийся в момент, когда вертикальная составляющая становится больше и угол становится больше 30°.

Мы можем записать уравнение для зависимости скорости по вертикали от времени:

\[
v_y = v \cdot \sin(\theta)
\]

Разделим обе части уравнения на \(\sin(\theta)\):

\[
\frac{v_y}{\sin(\theta)} = v
\]

Теперь можем записать уравнение зависимости вертикальной составляющей скорости от времени:

\[
v_y(t) = \frac{v_y}{\sin(\theta)} \cdot \sin(\theta - \alpha),
\]

где \(t\) - время, \(\alpha\) - угол между горизонтальной составляющей и горизонтом.

Теперь мы можем найти интервал времени, в течение которого вертикальная составляющая скорости меньше, чем горизонтальная составляющая и угол составляет менее 30°:

\[
\begin{align*}
v_y(t) &= v_y \cdot \sin(45° - \alpha) \\
v_y(t) &= 10 \sqrt{2} \, \text{м/с} \cdot \sin(45° - \alpha) \\
\end{align*}
\]

Тогда получаем уравнение:

\[
10 \sqrt{2} \, \text{м/с} \cdot \sin(45° - \alpha) = 10 \sqrt{2} \, \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\sin(45° - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Теперь найдем угол \(\alpha\):

\[
45° - \alpha = 45° - 30° = 15°
\]

Подставим угол в уравнение:

\[
\sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Так как \(\sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то вертикальная составляющая скорости в течение промежутка времени менее 30° будет меньше, чем горизонтальная составляющая скорости.

В результате, время, в течение которого вертикальная составляющая скорости диска будет меньше, чем 30°, равно длительности временного интервала, в котором вертикальная составляющая скорости равна горизонтальной составляющей и угол составляет 45°.

Надеюсь, я ответил на ваш вопрос и смог объяснить решение задачи школьнику. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!