Question

Шар массой m, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар массой 2m и после упругого удара продолжает двигаться под углом α = 30° к направлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после столкновения !​

Answer 1

Дано:

m₁ = m

m₂ = 2m

υ₁ = υ

υ₂ = 0 м/с

α = 30°

υ₁', υ₂' - ?

Удар нецентральный. А т.к. упругий, то взаимодействие шаров происходит практически мгновенно. Подразумевается, что силы упругости гораздо больше сил трения, действие которых при ударе приводит шары во вращение относительно их центров. Если так, то силами трения пренебрегаем - считаем, что шары ведут себя так же, как при упругом центральном ударе. А значит, помимо импульса системы, которую составляют оба шара, должна сохраняться и её механическая энергия. Записываем систему из трёх уравнений: закон сохранения импульса для каждой из осей и закон сохранения механической энергии:

mυ = mυ₁'cosα + 2mυ₂'х

0 = mυ₁'sinα - 2mυ₂'y

mυ²/2 = mυ₁'²/2 + 2m(υ₂'²х + υ₂'²y)/2

Делим всё на m, а обе части уравнения ЗСМЭ дополнительно умножаем на 2:

υ = υ₁'cosα + 2υ₂'х

0 = υ₁'sinα - 2υ₂'y

υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)

-----------------------------------

(υ - υ₁'cosα)/2 = υ₂'х

υ₁'sinα/2 = υ₂'y

υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)

-----------------------------------

Выражаем квадраты проекций скорости υ₂':

υ₂'²х = (υ - υ₁'cosα)²/2² = (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/4

υ₂'²y = υ₁'²sin²α/4

Подставляем в уравнение ЗСМЭ:

υ² = υ₁'² + 2*((υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/4 + υ₁'²sin²α/4) = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α)/2 + υ₁'²sin²α/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²cos²α + υ₁'²sin²α)/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²(cos²α + sin²α))/2 = υ₁'² + (υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²)/2 - избавляемся от двойки, умножая обе части уравнения на 2:

2υ² = 2υ₁'² + υ² - 2υυ₁'cosα + υ₁'²

υ² = 3υ₁'² - 2υυ₁'cosα - получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

υ² = 3υ₁'² - 2υυ₁'cosα

3*υ₁'² - 2υcosα*υ₁' - υ² = 0

D = b² - 4ac = (-2υcosα)² - 4*3*(-υ²) = 4υ²cos²α + 12υ² = 4υ²(cos²α + 3)

υ₁' = (-b +/- √D) : (2a) = [2υcosα +/- √(4υ²(cos²α + 3))] : (2*3) = [2υcosα +/- 2υ√(cos²α + 3)] : 6

υ₁'1 = [2υcosα + 2υ√(cos²α + 3)] : 6 = 2υ*(cosα + √(cos²α + 3))/6 = υ*(cosα + √(cos²α + 3))/3

υ₁'2 = υ*(cosα - √(cos²α + 3))/3

Множитель (cosα - √(cos²α + 3)) является отрицательным - если мы подставим вместо косинуса его значение, то получим: (0,87 - √(0,87² + 3)) = -1,068. Но т.к. мы должны получить модуль скорости (напомню, что квадратное уравнение мы получили из уравнения ЗСМЭ, в котором всегда используется модуль скорости), то корень υ₁'2 отбрасываем. Тогда:

υ₁' = υ*(cosα + √(cos²α + 3))/3 = υ*(√3/2 + √((√3/2)² + 3))/3 = υ*(√3/6 + √(3/4 + 3)/3) = υ*(√3/6 + √(3/4 + 12/4)/3) = υ*(√3/6 + √(15/2)/3) = υ*(√3/6 + √15/6) = υ*(√3 + √15)/6

Выражаем (υ₂'²х + υ₂'²y), или, что то же самое, υ₂'² из уравнения ЗСМЭ:

υ² = υ₁'² + 2(υ₂'²х + υ₂'²y)

(υ² - υ₁'²)/2 = υ₂'²

υ₂'² = υ²/2 - υ₁'²/2 = υ²/2 - (υ*(√3 + √15)/6)²/2 = υ²/2 - υ²*(√3 + √15)²/36)/2 = υ²/2 - υ²*(√3 + √15)²/72 = υ²*(1/2 - (√3 + √15)²/72) = υ²*(36 - (√3 + √15)²)/72 = υ²*(36 - (3 + 2*√3*√15 + 15))/72 = υ²*(36 - 3 - 2√45 - 15)/72 = υ²*(18 - 2√45)/72 = υ²*(18 - 2√(9*5))/72 = υ²*(18 - 2*3√5)/72 = υ²*(6*3 - 6√5)/72 = υ²*6(3 - √5)/72 = υ²(3 - √5)/12 =>

υ₂' = √(υ²(3 - √5)/12) = υ*√((3 - √5)/12)

$v_1' = v*\frac{\sqrt{3} +\sqrt{15} }{6} \\v_2'=v*\sqrt{\frac{3-\sqrt{5} }{12} }$