Question

Велосипедист поднимался в гору со скоростью 20 км/ч , с какой скоростью он должен съехать с горы чтобы средняя скорость была 1) 50 км/ч
2) 40 км/ч
3) 30 км/ч

Answer 1

Пусть скорость , с которой поднимался велосипедист, равна

$v_1 = 20$

километров в час.

При одинаковом пути в гору и с горы (пусть он равен S) средняя путевая скорость (именно средняя путевая, а не просто средняя) рассчитывается так:

$v_c = \frac{s + s}{ \frac{s}{ v_1} + \frac{s}{ v_2} } = \frac{2s}{ \frac{s}{ v_1} + \frac{s}{ v_2} } = \frac{2}{ \frac{1}{ v_1} + \frac{1}{ v_2} } = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Выразим v2 :

$2v_1v_2 = v_c(v_1 + v_2) \\ 2v_1v_2 = v_cv_1 + v_cv_2 \\ v_2(2v_1 - v_c) = v_1v_c \\ v_2 = \frac{v_1v_c}{2v_1 - v_c}$

Мы получили значение скорости спуска в общем виде. Подставляем значения скоростей из пп. 1-3:

А)

$v_2 = \frac{20 \times 50}{40 - 50} = - 100$

ответ получился отрицательный. Далее напишу, почему так могло произойти

Б)

$v_2 = \frac{20 \times 40}{40 - 40} = \frac{800}{0} = \infty$

Здесь тоже ответ не вышел

В)

$v_2 = \frac{20 \times 30}{40 - 30} = 60$

P.S.

Почему я упоминал среднюю путевую скорость, а не просто среднюю? Дело в том, что средняя скорость по определению есть отношение модуля перемещения на время перемещения. Здесь велосипедист отправился с одной точки, и в нее же в конечном счёте приехал. Перемещение равно нулю, и средняя скорость тоже.

P.S.S.

Почему не получилось ответы? Да все просто: задание некорректно составлено. Если в задаче имелась вдруг в виду средняя арифметическая скорость, то об этом нужно прямо писать.

Средняя арифметическая скорость вычисляется так

$v_ {cp.ap} = \frac{v_1 + v_2}{2} = v_2 = 2v_ {cp.ap} - v_ {1}$

Тогда для случаев А, Б, В такие скорости равны соответственно 80, 60 и 40 км/ч