Постройте изображение точечного источника света в двух плоских зеркалах, если угол между ними равен 120^{\circ}, 90^{\circ}, 72^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}. Сколько изображений получается?
Сначала построим изображения в системе двух зеркал, расположенных под углом 120^{\circ}. Пусть источник света располагается так, как показано на рисунке. Тогда в зеркале A мы получим его изображение на таком же расстоянии за зеркалом, на каком перед зеркалом располагается сам источник, и точно так же получим изображение в зеркале B:
Система зеркал
Рисунок 1
То есть всего изображений будет два. Большее количество изображений не получится, так как изображение зеркала A в зеркале B и изображение зеркала B в зеркале A совпадут – это показано серой линией.
Теперь расположим зеркала под углом 90^{\circ}. Опять на линиях, перпендикулярных зеркалам, получим изображения источника. Но также мы сможем увидеть изображения самих зеркал A и B (показано серым – C и D. Строим изображения зеркал симметрично: под каким углом зеркало B расположено к зеркалу A – под таким же будет расположено и его изображение). А в изображениях зеркал сможем увидеть вторичное изображение источника – это изображение изображения (желтым). То есть всего изображений будет три.
Система зеркал
Рисунок 2
Теперь расположим зеркала под углом 72^{\circ}, и опять получаем изображения источника в зеркалах (первичные изображения в зеркалах A и B – желтым). Также под углами, равными 72^{\circ}, получатся изображения самих зеркал: изображение C зеркала A, и изображение D зеркала B.
Система зеркал
Рисунок 3
В этих отраженных зеркалах мы получим изображения изображений – вторичные изображения источника (зеленым). Всего получаем пять изображений.
Следующая задача – построить систему изображений источника в зеркалах, между которыми 60^{\circ}. Под углами 60^{\circ} получим изображения зеркал A и B – показаны светло-серым цветом. В этих изображениях зеркал мы получим вторичные изображения зеркал – показаны темно-серым цветом. Желтым показаны первичные изображения источника в самих зеркалах A и B. Зеленым – вторичные изображения, изображения изображений источника. Наконец, синим показано изображение вторичного изображения.
Система зеркал
Рисунок 4
Наконец, последнее построение: между зеркалами 45^{\circ}. На рисунке показано, как были получены первичные, вторичные, третичные и, наконец, изображение четвертого порядка. (C – изображение зеркала A в B, D – изображение зеркала B в A, F – изображение C в A, E – изображение D в B, G – изображение C в E, H – изображение D в F. Получилось 7 изображений.
Система зеркал
Рисунок 5
Вообще количество изображений можно рассчитать по формуле:
\[N=\frac{360^{\circ}}{\alpha}-1\]
Например, при угле между зеркалами \alpha=45^{\circ} получаем:
\[N=\frac{360^{\circ}}{45^{\circ}}-1=7\]
Изображение, даваемое одним из зеркал, расположенных под углом друг к другу, является предметом для второго зеркала, а изображение, даваемое вторым зеркалом, - предметом для первого зеркала и т. д. Число изображений ограниченно, если изображение с номером n + 1 будет совпадать с изображением с номером 1. Это бывает в тех случаях, когда развернутый угол делится углом между зеркалами нацело. Формула для расчета числа 360 ° изображений . В а нашем случае n = 7.