Question

Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы 100 г и 300 г. Массу колеса 200 г считать равномерно распределённой
по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться
грузы и силу натяжения нити.

Answer 1

Дано:

m1 = 100 г = 0,1 кг

m2 = 300 г = 0,3 кг

m = 200 г = 0,2 кг

g = 10 м/с²

I = m*r²

a, T1, T2 - ?

Считаем, что нить является нерастяжимой. Значит, ускорения, с которыми будут двигаться грузы, одинаковы. Линейное ускорение точек блока равно ускорению грузов. Допустим, более массивный груз висит справа от блока. Тогда этот груз будет двигаться вниз, более лёгкий - вверх, а блок будет вращаться вправо. Ось ОY направим вверх. Составим уравнения по Второму закону Ньютона для грузов:

Т1 - m1*g = m1*a

-m2*g + T2 = -m2*a | * (-1)

m2*g - T2 = m2*a

Составим уравнение динамики для блока:

I*ε = Μ

Момент инерции блока считаем таким же, каким обладает тонкое кольцо. Сила натяжения Т1 стремится вращать блок против часовой (знак "+"), а сила натяжения Т2 - по часовой (знак "-"):

I = m*r²

М = (Т1 - Т2)*r

Угловое ускорение ε направлено туда же, куда и угловая скорость ω (блок развивает скорость вращения). Вращение происходит по часовой => ω < 0 =>

=> ε = Δω/Δt < 0. Т.о., обе части уравнения динамики для блока имеют знак минус. Домножим их на (-1):

I*(-ε) = -(Т1 - Т2)*r | * (-1)

I*ε = (T2 - T1)*r

ε = a_τ/r =>

=> m*r²*a_τ/r = (T2 - T1)*r

m*r*a_τ = (T2 - T1)*r | : r

m*a_τ = T2 - T1, где a_τ = a

Выразим Т1 и Т2 из уравнений по Второму закону Ньютона:

Т1 - m1*g = m1*a => Т1 = m1*a + m1*g

m2*g - T2 = m2*a => T2 = m2*g - m2*a

Отнимем первое от второго:

Т2 - Т1 = m2*g - m2*a - m1*a - m1*g = g*(m2 - m1) - a*(m2 + m1)

Теперь приравняем полученное выражение к выражению разности сил натяжения:

m*a = g*(m2 - m1) - a*(m2 + m1)

m*a + a*(m2 + m1) = g*(m2 - m1)

a*(m + m1 + m2) = g*(m2 - m1)

a = g*(m2 - m1)/(m + m1 + m2) = 10*(0,3 - 0,1)/(0,2 + 0,1 + 0,3) = 10*0,2/0,6 = 2/0,6 = 2*10/6 = 10/3 = 3,33... = 3,33 м/с²

Тогда Т1:

Т1 = m1*a + m1*g = m1*(a + g) = 0,1*(10/3 + 10) = 0,1*40/3 = 40/30 = 4/3 = 1,(3) = 1,33 H

И Т2:

T2 = m2*g - m2*a = m2*(g - a) = 0,3*(10 - 10/3) = 0,3*20/3 = 3*20/30 = 20/10 = 2 H

Проверим:

m*a = T2 - T1

m*a = 0,2*3,33 = 0,666 = 0,67 H

T2 - T1 = 2 - 1,33 = 0,67 H

0,67 = 0,67

ответ: 3,33 м/с²; 1,33 Н; 2 Н.