Задача 1 Зависимость координаты Х от времени t определяется уравнени- ем X=A+Bt+Ct^2+Dt^3. Определите зависимость скорости и ускорения от време- ни; расстояние, пройденное телом за t секунд от начала движения; скорость и ускорение тела через t секунд от начала движения; среднюю скорость и среднее ускорение за последнюю секунду движения. Постройте графики зависимости ско- рости и ускорения тела в промежутке времени от 0 до t секунд. А=6м; B=8м/с;
С=10м/с^2; D=-3м/с^3; t=2с
1. Зависимость скорости от времени:
Для этого нужно взять производную от исходного уравнения по времени. Каждый член уравнения будет умножаться на свою степень времени и уменьшаться на 1.
V = dX/dt = B + 2Ct + 3Dt^2
2. Зависимость ускорения от времени:
Возьмем вторую производную от исходного уравнения.
a = d^2X/dt^2 = 2C + 6Dt
3. Расстояние, пройденное телом за t секунд от начала движения:
Для вычисления расстояния нужно проинтегрировать уравнение скорости от 0 до t.
S = ∫[0,t] V dt = ∫[0,t] (B + 2Ct + 3Dt^2) dt = Bt + Ct^2 + Dt^3
4. Скорость тела через t секунд от начала движения:
Это значение уже указано в уравнении скорости V = B + 2Ct + 3Dt^2. Запишем его в отдельной формуле:
V_t = B + 2Ct + 3Dt^2
5. Ускорение тела через t секунд от начала движения:
Также это значение уже указано в уравнении для ускорения a = 2C + 6Dt. Запишем его в отдельной формуле:
a_t = 2C + 6Dt
6. Средняя скорость за последнюю секунду движения:
Средняя скорость будет равна изменению координаты Х за последнюю секунду деленной на это время.
V_avg = (X(t) - X(t-1)) / 1 = X(t) - X(t-1)
7. Среднее ускорение за последнюю секунду движения:
Аналогично, среднее ускорение будет равно изменению скорости за последнюю секунду деленной на это время.
a_avg = (V(t) - V(t-1)) / 1 = V(t) - V(t-1)
Теперь подставим данные в формулы:
A = 6 м
B = 8 м/с
C = 10 м/с^2
D = -3 м/с^3
t = 2 сек
1. Зависимость скорости от времени:
V = B + 2Ct + 3Dt^2
V = 8 + 2(10)(2) + 3(-3)(2)^2
V = 8 + 40 - 36
V = 12 м/с
2. Зависимость ускорения от времени:
a = 2C + 6Dt
a = 2(10) + 6(-3)(2)
a = 20 - 36
a = -16 м/с^2
3. Расстояние, пройденное телом за t секунд от начала движения:
S = Bt + Ct^2 + Dt^3
S = 8(2) + 10(2)^2 + (-3)(2)^3
S = 16 + 40 - 24
S = 32 м
4. Скорость тела через t секунд от начала движения:
V_t = B + 2Ct + 3Dt^2
V_t = 8 + 2(10)(2) + 3(-3)(2)^2
V_t = 8 + 40 - 36
V_t = 12 м/с
5. Ускорение тела через t секунд от начала движения:
a_t = 2C + 6Dt
a_t = 2(10) + 6(-3)(2)
a_t = 20 - 36
a_t = -16 м/с^2
6. Средняя скорость за последнюю секунду движения:
V_avg = X(t) - X(t-1)
V_avg = (6 + 8(2) + 10(2)^2 + (-3)(2)^3) - (6 + 8(1) + 10(1)^2 + (-3)(1)^3)
V_avg = (6 + 16 + 40 - 24) - (6 + 8 + 10 - 3)
V_avg = 38 - 11
V_avg = 27 м/с
7. Среднее ускорение за последнюю секунду движения:
a_avg = V(t) - V(t-1)
a_avg = (8 + 2(10)(2) + 3(-3)(2)^2) - (8 + 2(10)(1) + 3(-3)(1)^2)
a_avg = (8 + 40 - 36) - (8 + 20 - 9)
a_avg = 12 - 17
a_avg = -5 м/с^2
Для построения графиков зависимости скорости и ускорения в промежутке времени от 0 до 2 секунды, нужно установить оси времени (ось X) и соответствующие значения скорости и ускорения (оси Y) на графике. Значения скорости и ускорения в разные моменты времени будут отображаться на графике точками, а затем можно соединить эти точки прямыми линиями, чтобы увидеть всю зависимость.
Надеюсь, ответ был понятен. Если возникают какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.