Два кубика одинаковых размеров, изготовленные из разных материалов, поставили на стол друг на друга. Если линейные размеры нижнего кубика увеличить в 2 раза, а верхнего в 3, не изменяя их плотность, то давление на стол увеличиться в 4 раза. Найдите отношение плотностей материалов, из которых изготовлены эти кубики
1. Плотность (ρ) определяется как отношение массы (m) тела к его объему (V), то есть ρ = m/V.
2. Давление (P) на стол можно вычислить как отношение силы (F), действующей на стол, к площади (A) стола, на которую эта сила действует, то есть P = F/A.
3. В формуле для давления можно использовать закон Архимеда, который гласит, что сила Архимеда, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу вытесненной жидкости, то есть F = ρгV, где ρг - плотность жидкости, V - объем тела, вытесняющего жидкость.
Теперь, воспользуемся данными задачи:
Пусть плотность материала нижнего кубика равна ρ1, а плотность материала верхнего кубика равна ρ2.
Когда мы увеличиваем линейные размеры нижнего кубика в 2 раза, его объем увеличивается в (2^3) = 8 раз, то есть V1' = 8V1.
Аналогично, увеличивая линейные размеры верхнего кубика в 3 раза, его объем увеличивается в (3^3) = 27 раз, то есть V2' = 27V2.
Согласно задаче, давление на стол увеличивается в 4 раза. Это означает, что P' = 4P.
Используем формулы для плотности и давления, а также полученные выше соотношения объемов:
P = F/A = (ρгV) /A
P' = 4P = 4(ρгV') /A
Так как плотность газа остается неизменной, то ρг = Const. Тогда:
4(ρгV') /A = (ρгV) /A
4V' = V
4(8V1) = 27V2
32V1 = 27V2
V1/V2 = 27/32
Воспользуемся теперь формулой для плотности:
ρ1 = m1 / V1
ρ2 = m2 / V2
Так как мы имеем дело с кубиками одинаковых размеров, то их массы (m1 и m2) будут пропорциональны их плотностям. Запишем это как:
m1/m2 = ρ1/ρ2
Теперь, используя полученное выше отношение объемов (V1/V2 = 27/32), мы можем заменить V1 на (27/32)V2:
m1/m2 = (ρ1/ρ2) = V1/V2 = (27/32)
Таким образом, мы нашли отношение плотностей материалов, из которых изготовлены эти кубики:
отношение плотностей, ρ1/ρ2 = 27/32.