Question

Длина пути движущегося тела изменяется по закону: S = A×t + B×t2 + C×t3 (м). Известно, что при t=0 скорость тела 1 м/c, тангенциальное ускорение 2 м/c2, за первую секунду тело проходит путь 3 м. Какой путь пройдет тело за первые 3 с движения?

Answer 1

Хорошо, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Из условия задачи мы знаем, что при t=0 скорость тела равна 1 м/c. Это означает, что при t=0 производная функции S по времени (S') равна 1 м/c. Так как S = A×t + B×t2 + C×t3, найдем производную этой функции:

S' = dS/dt = d/dt (A×t + B×t2 + C×t3)
= A×d/dt(t) + B×d/dt(t2) + C×d/dt(t3)
= A×1 + B×2t + C×3t2
= A + 2Bt + 3Ct2

Теперь мы можем использовать полученное выражение для первого условия: при t=0 S' = 1 м/c.
Подставим t=0 в выражение для S':

A + 2B×0 + 3C×0^2 = 1
A = 1

Таким образом, мы нашли значение A, оно равно 1.

Теперь воспользуемся вторым условием: за первую секунду тело проходит путь 3 м. То есть, при t=1 S=3 м.
Подставим t=1 в выражение для S:

S = A×t + B×t2 + C×t3
= 1×1 + B×1^2 + C×1^3
= 1 + B + C = 3

Теперь мы можем использовать полученное уравнение для определения значения C:

1 + B + C = 3
C = 3 - 1 - B
C = 2 - B

Таким образом, мы нашли значение C, оно равно 2 - B.

Теперь у нас есть значения A и C, но нам нужно найти значение B.
Снова воспользуемся полученными уравнениями:

A + 2B×t + 3C×t2 = S

Так как длина пути движущегося тела изменяется по закону S = A×t + B×t2 + C×t3, мы можем записать следующее:

1 + 2B×t + 3(2 - B)×t2 = S

Подставим последнее известное значение: при t=1 S=3:

1 + 2B×1 + 3(2 - B)×1^2 = 3
1 + 2B + 3(2 - B) = 3
1 + 2B + 6 - 3B = 3
-2 + B = 3 - 6
B = 1

Таким образом, мы нашли значение B, оно равно 1.

Теперь у нас есть все значения A, B и C.
Выражение для длины пути движущегося тела S = A×t + B×t2 + C×t3 принимает следующий вид:

S = 1×t + 1×t2 + (2 - 1)×t3
= t + t2 + t3

Теперь осталось только найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды.
Подставим t=3 в полученное выражение:

S = 3 + 3^2 + 3^3
= 3 + 9 + 27
= 39

Таким образом, тело пройдет путь в 39 метров за первые 3 секунды движения.