Question

Запишите кинематический закон движения x(t) материальной точки, если за промежуток времени дельтаt=1,0 мин она совершает n=120 колебаний с амплетудой a=10 см. в момент времени t0=0 точка двигалась в положительном оси ox, и её начальная координата x(0)=5,0 см.

Answer 1

ответ: $x(t) = 0.1sin(4\pi t+ \dfrac{\pi }{6} )$

$x(t) = 0.1cos(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{3} )$

Объяснение:

Дано:

$\Delta t =t = 1$ мин $=60$ с

$N = 120$

$A = 10$ см $=0.1$ м

$x(0) =5$ см $= 0.05$ м

-----------------------------

$x(t)-?$

Мы знаем что гармонические колебания материальной точки, можно описать с кинематических уравнений синуса $x(t) = Asin(\omega t+ \phi_{0} )$ или косинуса $x(t) = Acos(\omega t+ \phi_{0} )$

Где $A = 0.1$ м - амплитуда колебаний МТ

$\omega = \dfrac{2\pi }{T}$ - угловая частота колебаний, при $T = \dfrac{t}{N}$

$\omega = \dfrac{2\pi N}{t}$

$\omega = \dfrac{2\pi 120}{60} = 4\pi$ рад/с

$\phi_{0}$ - начальная фаза колебаний

В том случае если мы используем уравнение косинуса

$x(t) = Acos(\omega t+ \phi_{0} )$

То в начальный момент времени, когда  $t = t_{0} = 0$ c

$x(0) = Acos( \phi_{0} )$

Отсюда $cos( \phi_{0} ) = \dfrac{x(0)}{A}$

$cos( \phi_{0} ) = \dfrac{0.05}{0.1} = \dfrac{1}{2}$

Соответственно  $\phi_{0} = \dfrac{\pi }{3}$рад либо же $\phi_{0} = \dfrac{5\pi }{3}$рад (это нам предстоит выяснить)

Однако, в том случае если мы используем уравнение синуса

$x(t) = Asin(\omega t+ \phi_{0} )$

То в начальный момент времени, когда  $t = t_{0} = 0$ c  

$x(0) = Asin( \phi_{0} )$

Отсюда $sin( \phi_{0} ) = \dfrac{x(0)}{A}$

$sin( \phi_{0} ) = \dfrac{0.05}{0.1} = \dfrac{1}{2}$

Соответственно  $\phi_{0} = \dfrac{\pi }{6}$рад либо же $\phi_{0} = \dfrac{5\pi }{6}$рад (это нам предстоит также выяснить)

Таким образом получаем итоговые уравнения

1. $x(t) = 0.1cos(4\pi t+ \dfrac{\pi }{3} )$

2. $x(t) = 0.1cos(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{3} )$

3.  $x(t) = 0.1sin(4\pi t+ \dfrac{\pi }{6} )$

4. $x(t) = 0.1sin(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{6} )$

Теперь чтобы понять какие уравнения можно записать в итоговый ответ, для решения конкретно этой задачи, нам сказано в условии следующее "В момент времени t0=0 точка двигалась в положительном направлении оси Ox" это значит, что если определим скорость МТ для всех уравнений в начальный момент времени и в каких либо из уравнений начальная скорость будет меньше 0 м/с, это будет свидетельствовать о том что данные уравнения является неверными, ведь это будет противоречить условию указанному выше.

Для начала поверим уравнения косинуса

1. $x(t) = 0.1cos(4\pi t+ \dfrac{\pi }{3} )$

$v(t) = x'(t) = (0.1cos(4\pi t+ \dfrac{\pi }{3} ))' <0$ - значит это уравнение нам не подходит

2. $x(t) = 0.1cos(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{3} )$

$v(t) = x'(t) = (0.1cos(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{3} ))' 0$ - значит это уравнение нам подходит

Теперь поверим уравнения синуса

3.  $x(t) = 0.1sin(4\pi t+ \dfrac{\pi }{6} )$

$v(t) = x'(t) = (0.1sin(4\pi t+ \dfrac{\pi }{6} ))' 0$ - значит это уравнение нам подходит  

4. $x(t) = 0.1sin(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{6} )$

$v(t) = x'(t) = (0.1sin(4\pi t+ \dfrac{5\pi }{6} ))' < 0$ - значит это уравнение нам не подходит