Question

Шарик,брошенный под углом α=30 градусов к горизонту,оказался на высоте h спустя время t1=1 с и t2=2 с после начала полета.определите модуль начальной скорости и высоту h. ответ: v0=30 m/c h=10 m

Answer 1

Совместим начало координат с точкой бросания и будем считать $g\approx 10$ Разобьем $v_0$ на составляющие:

$v_{0,y}=v_0sin30^o=\frac{v_0}{2} \\ v_{0,x}=v_0cos30^o=v_0\frac{\sqrt{3}}{2}$

При движении под углом к горизонту, вертикальная составляющая скорости постоянно меняется, т.к. на тело действует сила тяжести, которая дает нашему шарику ускорение $g$. Горизонтальная составляющая постоянна и равна $v_{0,x}$. Пока что запишем зависимость скорости в направлении оси $y$ от времени.

$v_y=\frac{v_0}{2}-gt$

Далее смотрим на чертеж. Интуиция подсказывает, что между моментами $t_1=1$ и $t_2=2$ точка достигает наивысшей высоты. Скорее всего эта точка находится посередине, т.е. $t_{max}=1.5$. На самом деле так и есть! Движение подчиняется закону сохранения энергии, поэтому наша парабола симметрична.

Что же дальше? А дальше нам известно вот что: в момент $t_{max}$ вертикальная составляющая скорости равна нулю: $v_y=0$ (на рисунке если спроектировать вектор скорости в наивысшей точке на ось y, он окажется точкой, т.е. его длина по оси y равна нулю, а значит и скорость по оси y равна нулю). Обратимся к уравнению выше и подставим туда то, что мы только что поняли.

$v_y=\frac{v_0}{2}-gt_{max} \to 0=\frac{v_0}{2}-10\cdot1.5 \\\frac{v_0}{2}=15 \\v_0=30$

Чтоб вычислить высоту нам нужно воспользоваться уравнением координаты.
$y=y_0+v_{0,y}t+\frac{at^2}{2}$

Начальная координата равна нулю, начальная скорость по оси y равна половине начальной скорости, время t=t_max, а ускорение равно g, причем противоположно выбранному направлению (появится знак минус). Итак, 

$y=0+\frac{v_0}{2}t_{max}-\frac{gt^2_{max}}{2} \\ \\ y=\frac{30}{2}\cdot1.5-\frac{10\cdot2.25}{2}=22.5-11.25=11.25$

Немного отличается, зато у нас точнее.