Question

1. тело падает с высоты h=1 км с нулевой начальной скоростью. пренебрегая сопротивлением воздуха определите какой путь пройдёт тело: 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения 2. при падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через t=5 с. принимая скорость звука v=330 м/с определите глубину колодца

Answer 1

1. При заданных условиях действительны следующие соотношения:
$v=gt; \ S= \frac{gt^2}{2}$
Найдем время падения тела:
$t= \sqrt{ \frac{2S}{g}}= \sqrt{\frac{2*1000}{10}}=10 \sqrt{2}\approx 14.1 \ (c)$
За первую секунду падения тело пройдет путь
$S_{(1)}= \frac{g*1^2}{2}=5 \ (_M)$
За последнюю секунду падения тело пройдет путь
$S=S_{(14.1)}-S_{(13.1)}= \frac{g}{2}(14.1^2-13.1^2)= \frac{10}{2}(14.1+13.1)*1= \\ 5*27.2=136 \ (_M)$
2. Время 5с складывается из времени падения камня t1 и времени прихода звука к наблюдателю t2. За каждое из этих времен проходится путь, равный глубине колодца h.
Камень падает равноускоренно под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем), а звук распространяется с постоянной скоростью.
Получаем систему уравнений.
$\begin {cases} h= \frac{gt_1^2}{2} \\ h=v_2t_2 \\ t_1+t_2=5 \end {cases} \to \qquad \begin {cases} \frac{gt_1^2}{2} = v_2t_2 \\ t_2=5-t_1 \end {cases} \to \qquad gt_1^2=2v_2(5-t_1) \\ 10t_1^2=2*330(5-t_1); \ 5t_1^2+330t_1-1650=0; \\ D=330^2+4*5*1650=141900; \sqrt{D} =10 \sqrt{1419} \approx 377; \\ t_1= \frac{-330\mp 377}{10}; \ t_{1{(1)}}=-70.7 <0; \ t_{1{(2)}}=4.7 \ (c)$
 $t_2=5-4.7=0.3 \ (c); \\ h=v_2t_2=330*0.3=99 \ (_M)$
ответ: глубина колодца примерно равна 100м.

Примечание. Мы имеем полное право писать "примерно 100м", поскольку при расчете сделали некоторые допущения: 1) положили ускорение свободного падения равным 10 м/с² 2) при извлечении квадратного корня из 1419 взяли приближенное с невысокой степенью точности значение.