Question

Определить , на какой высоте ускорение свободного падения составляет 50% от значения вблизи поверхности земли.

Answer 1

Согласно закону вемирного тяготения сила действующая на тело со стороны Земли равна:
$F_t=G \frac{mM_}{r^2}$,  (1)
где
G - Гравитационная постоянная 6,67*10⁻¹¹ (Н*м²/кг²)
m - масса тела
M - Масса  Земли
r - расстояние между центрами масс Земли и тела. Вблизи поверхности можно считать раноым радису Земли R (точно не помню, но ≈6000 км)

С  другой стороны,согласно 2 му закону Ньютона ускорение приобретаемое телом массой равно под действием силы F
a= F/m,
У поверхности Земли
$a=g=G \frac{M}{R^2}$ (2)
На некоторй высоте h (расстояние от поверхности до центра масс тела) ускорение свободного падения , уменьшается:
$g_2=G \frac{M}{(R+h)^2}$ (3)
По условию надо найти такую высоту, чтобы g₂=g/2 Т.е. из (2) и (3) следует:
$g=G \frac{M}{R^2}=2g_2=2G \frac{M}{(R+h)^2}$
$\frac{1}{R^2}= \frac{2}{(R+h)^2}$
$(R+h)^2=2R^2$
$R^2+2Rh+h^2=2R^2$

Получили кватратное уравнение относительно h. Решаем его.
$h^2+2Rh-R^2=0$
$D=4*R^2+4*R^2=8R^2$
$h_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{D} }{2} = \frac{-2 \pm R\sqrt{8} }{2}=-1 \pm R \sqrt{2} \approx \pm R \sqrt{2}$
если радиус Земли принять за 6400 км то h≈9051 км
ответ h≈9051 км (уточнить радиус Земли)