Question

При каких углах между начальной скоростью и горизонтом брошенный камень при навесной траектории достигнет цели через промежуток времени вn раз (n=2) больший, чем при настильной с той же начальной скоростью?

Answer 1

Дальность броска пропорциональна sin(2a) и одинакова для углов у которых синус удвоенного угла одинаков
время полета пропорционально вертикальной составляющей скорости
имеем 2 уравнения
sin(2*a)=sin(2*b)
sin(a)=2*sin(b)

sin(a)*cos(a)=sin(b)*cos(b)
sin(a)=2*sin(b)

2*cos(a)=cos(b)
sin(a)=2*sin(b)

2*cos(a)=cos(b)
sin(a)/2=sin(b)

(2*cos(a))^2+(sin(a)/2)^2=1
4*(cos(a))^2+(sin(a))^2/4 =1
4*(1-sin(a))^2)+(sin(a))^2/4 =1
3=(sin(a))^2*15/4
4/5=(sin(a))^2
sin(a)=корень(0,8)
а = arcsin(корень(0,8)) = 63,43495 градус

Answer 2

Время движения брошенного тела:
$T= \frac{2Vo*sin \alpha }{g} .$
Отсюда $sin \alpha = \frac{T*g}{2Vo}$
Так как во втором случае время в 2 раза больше, то отношение синусов углов тоже равно 2:
$\frac{sin \alpha_{1} }{sin \alpha _{2} } =2.$
Поэтому $sin \alpha _{1}=2*sin \alpha x_{2} .$
Угол не может быть больше 90°, а синус - не более 1.
$2*sin \alpha _{2} \ \textless \ 1$    $sin \alpha _{2} \ \textless \ \frac{1}{2}$
Или $\alpha _{2} \ \textless \ 30$°
Граница между навесной и настильной траекториями - это угол 45°
Угол навесной траектории $\alpha _{1} \ \textgreater \ 45$
$sin \alpha _{1} \ \textgreater \ sin45\ \textgreater \ \frac{ \sqrt{2} }2}$
Синус угла настильной траектории в 2 раза меньше:
$sin \alpha _{2} \ \textless \ (\frac{ \sqrt{2} }{2} )/2= \frac{ \sqrt{2} }{4}$ 
Отсюда угол $\alpha _{2} \ \textless \ arcsin( \frac{ \sqrt{2} }{4} )\ \textless \ 20,7048$°.
ответ:
Время полёта брошенного тела по навесной траектории больше в 2 раза, чем при настильной траектории, при углах:
$41.40962211\ \textless \ \alpha \ \textless \ 60$