Question

Шнур в виде замкнутой окружности вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с угловой скорость . масса шнура m, длина шнура l0, коэффициент жесткости k. найти силу натяжения шнура.

Answer 1

Рассмотрим элемент шнура, заключенный в центральном угле Δα. Слева и справа на него действуют силы натяжения, и угол между их направлениями π-Δα. Сложим их векторно, их сумма будет

$F = 2T\sin(\Delta\alpha/2)\approx T\Delta\alpha$

Эта сила придает центростремительное ускорение элементику шнура. Его масса равна 

Δm = m*Δα/2π

Запишем второй закон Ньютона
$\Delta m \cdot\omega^2R = T\Delta\alpha\\ \frac{m\omega^2R}{2\pi} = T$

С другой стороны по закону Гука T = k(L-L0) = k(2πR-L0) поэтому

$\frac{m\omega^2R}{2\pi} = k(2\pi R-l_0)\\ R(2\pi k - \frac{m\omega^2}{2\pi}) = kl_0\\\\ R = kl_0(2\pi k - \frac{m\omega^2}{2\pi})^{-1} = \frac{l_0}{2\pi}(1-\frac{m\omega^2}{4\pi^2k})^{-1}$

Мы нашли радиус вращающегося кольца. Отметим что при нулевой угловой скорости радиус совпадает с радиусом нерастянутого кольца (длина окружности делить на два пи), и устойчивое вращение возможно только при не слишком больших угловых скоростях. Силу натяжения найти теперь легко

$T = k(2\pi R-l_0) = k(l_0(1-\frac{m\omega^2}{4\pi^2k})^{-1}-l_0) = \\\\ = kl_0[(1-\frac{m\omega^2}{4\pi^2k})^{-1}-1]$