Question

Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, второй конец которой закреплен в стене. через какую долю периода он пройдет четверть амплитуды от положения, где его скорость равна нулю?

Answer 1

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окресности сжатия    $x$    – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения    $x$    – это степень растяжения.

Тогда искомая точка:    $x = \frac{3}{4}A \ ;$

$\frac{3}{4} A = A \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} = \cos{ \omega t } \ ,$

$\frac{3}{4} \approx 1 - \frac{ (\omega t)^2 }{2} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx 1 - \frac{3}{4} \ ,$

$\frac{ (\omega t)^2 }{2} \approx \frac{1}{4} \ ,$

$(\omega t)^2 \approx \frac{1}{2} \ ,$

$\omega t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$\omega = \frac{ 2 \pi }{T} \ ,$

$\frac{ 2 \pi }{T} t \approx \frac{1}{ \sqrt{2} } \ ,$

$t \approx \frac{T}{ 2 \sqrt{2} \pi } \approx 0.11 \ T \ .$