Question

Частица массой m, свободно летящая со скоростью v, попадает в область пространства, в которой в течение времени t=1сек на неё действует постоянная по модулю и направлению сила f. к моменту прекращения действия этой силы частица движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном начальному. какое время потребовалось бы такой же по модулю и направлению силе, чтобы совершить над частицей вдвое большую работу(при такой же начальной скорости)? влияением других сил пренебречь.

Answer 1

В силу закона сохранения энергии, работа силы в первом случае:

$A = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_o^2}{2} = \frac{ m }{2} \Delta v^2 \ ;$

$v_o = V$    –  начальная скорость;

$v = 2V$    –  конечная скорость через время    $t = 1$   сек ;

$A = \frac{m}{2} ( v^2 - v_o^2 ) = \frac{m}{2} ( 4 V^2 - V^2 ) = \frac{3}{2} m V^2 \ ;$

$\Delta v_{||} = -V = a_{||} t$
изменение продольной составляющей скорости за время    $t = 1$   сек ;

$\Delta v_{\perp} = 2V = a_{\perp} t$
изменение поперечной составляющей скорости за время    $t = 1$   сек ;

Поскольку сила и масса постоянны, то и составляющие ускорения по обеим осям постоянны:

$\Delta v'_{||} = a_{||} t' = \frac{-V}{t} t'$
изменение продольной составляющей скорости за искомое время    $t' \ ;$

$\Delta v'_{\perp} = a_{\perp} t' = \frac{2V}{t} t'$
изменение поперечной составляющей скорости за искомое время    $t' \ ;$

$v'_{||} - v_{o||} = \Delta v'_{||} \ ;$

$v'_{\perp} - v_{o \perp} = \Delta v'_{\perp} \ ;$

$v'_{||} = v_{o||} + \Delta v'_{||} = mV - \frac{t'}{t}V = V ( 1 - \frac{t'}{t} ) \ ;$
продольная составляющая скорости в момент искомого времени    $t' \ ;$

$v'_{\perp} = v_{o \perp} + \Delta v'_{\perp} = 2V \cdot \frac{t'}{t} \ ;$
поперечная составляющая скорости в момент искомого времени    $t' \ ;$

$v'^{ \ 2} = v_{||}^2 + v_{\perp}^2 = V^2 ( ( 1 - \frac{t'}{t} )^2 + 4 ( \frac{t'}{t} )^2 ) \ ;$
квадрат конечной скорости, в момент искомого времени    $t' \ ;$

За искомое время    $t'$    совершена двойная работа:

$2A = 3 m V^2 = \frac{m}{2} ( \Delta (v'^{ \ 2} ) ) = \frac{m}{2} ( v'^{ \ 2 } - v_o^2 ) = \frac{m}{2} ( V^2 ( ( 1 - \frac{t'}{t} )^2 + 4 ( \frac{t'}{t} )^2 ) - V^2 ) \ ;$

$3 m V^2 = \frac{m}{2} ( V^2 ( ( 1 - \frac{t'}{t} )^2 + 4 ( \frac{t'}{t} )^2 ) - V^2 ) \ ;$

$6 = ( 1 - \frac{t'}{t} )^2 + 4 ( \frac{t'}{t} )^2 - 1 \ ;$

$5 ( \frac{t'}{t} )^2 - 2 \frac{t'}{t} - 6 = 0 \ ;$

$D_1 = 1 + 5 \cdot 6 = ( \sqrt{31} )^2 \ ;$

$0 < \frac{t'}{t} = \frac{ 1 + \sqrt{31} }{5} \ ;$

искомое время:    $t' = \frac{ 1 + \sqrt{31} }{5} t \approx 1.31$   сек.