Question

Колебательный контур радиоприёмника состоит из катушки с индуктивностью l=1 мгн и переменного конденсатора. может изменяться в пределах от 9,7 до 92 пф. в каком диапазоне длин волн может принимать радиостанции этот приёмник?

Answer 1

1)
                            dQ
 oO|o - -  -  -  -  -  -  -  -  -  -R -  -  -  > x
-l/2                       dx                 +l/2  
                          |                                                             |
                          |                                r                            |
                          |<>|

Центр нити длиной l в точке O на оси Х
Возьмем малый участок нити dx (на рисунке в начале координат O)
Его можно рассматривать как точечный заряд dQ=γdx.
Поместим в точку R единичный пробный заряд q0. 
Расстояние между ним и зарядом dQ равна (r-x) 
По закону Кулона сила взаимодействия dF между зарядом q0 и зарядом dQ равна:
dF = q0*dQ/(4πε₀(r-x)²)
Тогда напряженность поля в точке R равна:
dE = dF / q0 = dQ / (4πε₀(r-x)²) = γdx / (4πε₀(r-x)²)

      +l/2                                          +l/2
E =   ∫ γdx / (4πε₀(r-x)²) = (γ/4πε₀)  ∫  dx / (r-x)² = 
      -l/2                                           -l/2

                  +l/2                                                | +l/2
= - (γ/4πε₀)  ∫  (r-x)⁻² d(r-x) =  (γ/4πε₀) 1/(r-x) |           = 
                  -l/2                                                 | -l/2

= (γ/4πε₀) [ 1/(r-l/2) - 1/(r+l/2) ]

Преобразуем выражение в квадратных скобках:

E  = (γ/4πε₀) [ ((r+l/2) - (r-l/2)) / (r-l/2)(r+l/2) ] = 
= (γ/4πε₀) [ (r + l/2 - r + l/2) / (r-l/2)(r+l/2) ] = 
= (γ/4πε₀) [ l / (r-l/2)(r+l/2) ] = 
= (γ/4πε₀) [ l / (r²-(l/2)²) ] = (γ/4πε₀) [ l / (r²-l²/4) ] = 
=  (γ/4πε₀) [ l / (r²-l²/4) ]

Поскольку  r >> l , то в знаменателе можно пренебречь членом l²/4 по сравнению с r²:

E = (γ/4πε₀) ( l / r² )
 E = γl/(4πε₀r²)

Такое же  выражение можно было бы получить, применяя закон Кулона к единичному заряду q0 в точке R и к точечному заряду, сосредоточенному в центре нити O и равному γl (как будто весь заряд нити сосредоточился в ее центре):
F = γlq0/(4πε₀r²)
E = γl/(4πε₀r²)
 
2) 
Магнитная индукция B прямого тока i на расстоянии R от него равна:
B = μ₀i / (2πR)
С учетом того, что по условиям задачи расстояние равно радиусу провода d/2, получаем: 
B = μ₀i / (πd),    
B =  1,26*10⁻⁶ H/A² * 50 А / (3.14*2.5*10⁻³ м) =   8,02*10⁻³ Тл

3)
Частота контура рассчитывается по формуле:
f=1/(2π√(LC))
L = 1 мГн = 10⁻³ Гн
С = (9,7 ... 92) пФ = (9,7 ... 92) *10⁻¹² Ф

f1 =  1/(2π√(10⁻³ Гн * 9,7*10⁻¹² Ф)) = 1,62 * 10⁶ Гц = 1,62 МГц = 1620 кГц
f2 =  1/(2π√(10⁻³ Гн * 92*10⁻¹² Ф)) = 5,25 * 10⁵ Гц = 0,5 МГц = 500 кГц
Эти частоты соответствуют диапазону средних волн (СВ)