Материальная точка начинает движение из начала координат в плоскости xoy со скоростью v=альфа i + бэта xj, где альфа и бета - постоянные. найти зависимость радиус-вектора точки от времени.
Для решения данной задачи, мы должны найти зависимость радиус-вектора точки от времени. Для начала, разложим данную скорость на её составляющие.
Дано:
Скорость v = альфа i + бета x j.
Используем формулу для радиус-вектора:
r(t) = x(t) i + y(t) j.
Нам дано, что точка начинает движение из начала координат, поэтому начальные координаты x и y равны 0:
r(0) = 0 i + 0 j.
Также зная, что скорость - это производная радиус-вектора по времени, можем записать следующее:
v = dr/dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j.
Теперь необходимо найти dx/dt и dy/dt, интегрируя компоненты скорости отдельно.
dx/dt = α,
dy/dt = βx.
Интегрируя данные уравнения, получим:
x = αt + C1,
y = βx²/2 + C2.
C1 и C2 - константы интегрирования, которые определяются начальными условиями. Зная, что точка начала движения из начала координат, получаем, что C1 = 0 и C2 = 0.
Теперь, подставим полученные выражения для x и y в радиус-вектор r(t):
r(t) = (αt + 0) i + (β(αt)²/2 + 0) j.
Упростим это выражение:
r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.
Таким образом, зависимость радиус-вектора точки от времени будет:
r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.
Ответ: Зависимость радиус-вектора точки от времени будет r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.
Дано:
Скорость v = альфа i + бета x j.
Используем формулу для радиус-вектора:
r(t) = x(t) i + y(t) j.
Нам дано, что точка начинает движение из начала координат, поэтому начальные координаты x и y равны 0:
r(0) = 0 i + 0 j.
Также зная, что скорость - это производная радиус-вектора по времени, можем записать следующее:
v = dr/dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j.
Теперь необходимо найти dx/dt и dy/dt, интегрируя компоненты скорости отдельно.
dx/dt = α,
dy/dt = βx.
Интегрируя данные уравнения, получим:
x = αt + C1,
y = βx²/2 + C2.
C1 и C2 - константы интегрирования, которые определяются начальными условиями. Зная, что точка начала движения из начала координат, получаем, что C1 = 0 и C2 = 0.
Теперь, подставим полученные выражения для x и y в радиус-вектор r(t):
r(t) = (αt + 0) i + (β(αt)²/2 + 0) j.
Упростим это выражение:
r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.
Таким образом, зависимость радиус-вектора точки от времени будет:
r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.
Ответ: Зависимость радиус-вектора точки от времени будет r(t) = αt i + (βα²t²/2) j.