Question

Два одинаковых маленьких бруска массами m = 0,6 кг каждый легкой пружиной и положили на наклонную образующую угол α = 30 ° с горизонтом, так, как показано на рисунке. коэффициент трения между брусками и плоскостью равен μ = 0,8 . при какой максимальной деформации ∆x пружины эта система может находиться в покое? считайте, что g = 10 м/с2. соединили друг жёсткостью с другом k = 80 н/м плоскость,

Answer 1

Дано:

$m_{1} = m_{2} = m = 0,6$ кг

$\alpha = 30^{\circ}$

$\mu = 0,8$

$g = 10$ м/с²

$k = 80$ Н/м

============================

Найти: $\Delta x - ?$

============================

Решение. Рассмотрим один из двух маленьких брусков, так как они одинаковые. На брусок действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила трения $\vec{F}_{_{{\text{TP}}}}$ и сила упругости $\vec{F}_{_{\text{Y}\Pi {\text{P}}}}}$ (см. рисунок).

Свяжем систему координат с бруском на поверхности Земли, ось $y$ направим перпендикулярно поверхности плоскости, ось $x$ — вдоль поверхности (при таком выборе осей только одна сила $(m\vec{g})$ не лежит на осях координат).

Если два бруска покоятся, то сложим геометрически эти три силы и приравняем их к нулю:

$\vec{F}_{_{{\text{TP}}}} + m\vec{g} + \vec{F}_{_{\text{Y}\Pi {\text{P}}}}} = 0$

Спроецируем уравнение на оси координат (сила $m\vec{g}$ не лежит на оси координат, поэтому для нахождения её проекций опустим из конца вектора $m\vec{g}$ перпендикуляры на оси $x$ и $y$: $mg_{x} = -mg \sin \alpha, \ mg_{y} = -mg \cos \alpha$) и запишем выражения для силы трения $\vec{F}_{_{{\text{TP}}}}$:

$\begin{equation*} \begin{cases} x: F_{_{{\text{TP}}}} - mg \sin \alpha - F_{_{\text{Y}\Pi {\text{P}}}} = 0, \\y: N - mg \cos \alpha = 0, \\ F_{_{{\text{TP}}}} = \mu N. \end{cases}\end{equation*}$

Распишем все силы, действующие на брусок:

$F_{_{{\text{TP}}}} = \mu mg \cos \alpha\\F_{_{\text{Y}\Pi {\text{P}}}} = k\Delta x$

Подставим их в уравнение:

$F_{_{{\text{TP}}}} = mg \sin \alpha + F_{_{\text{Y}\Pi {\text{P}}}}\\\mu mg \cos \alpha = mg \sin \alpha + k\Delta x\\mg(\mu \cos \alpha - \sin \alpha) = k\Delta x\\\boxed{\Delta x = \dfrac{mg(\mu \cos \alpha - \sin \alpha)}{k}}$

Определим значение искомой величины:

$\Delta x = \dfrac{0,6 \ \cdotp 10 \bigg(0,8 \ \cdotp \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \bigg)}{80} \approx 0,015$ м

============================

ответ: $\Delta x \approx 0,015$ м