ответ: l²=34
Объяснение: Точка M равноудалена от всех вершин данного треугольника, следовательно, все наклонные из М к вершинам, а, значит, и к плоскости треугольника, равны, поэтому равны и их проекции ОС=ОВ=ОА и равны радиусу описанной около ∆ АВС окружности.
Искомое расстояние МС - гипотенуза прямоугольного ⊿ МОС. Для её нахождения нужно найти катет ОС этого треугольника. ОС=R.
Формула радиуса описанной окружности R=a•b•c/4S ( где а, b и с - стороны треугольника).
S=BD•AC:2=9•6:2=27
Боковые стороны ∆ (АВС) найдём из ⊿ АВD. Высота ВD в равнобедренном треугольнике ещё и медиана (свойство)
По т.Пифагора. АВ=√(BD²+AD²)=√(9²+3²)=√90
R=(√90•√90•6):4•27= 5
ОС=5 ⇒ МС²=(MO²+OC²)=3²+5²=34 ⇒ l²=34
E∈ [AB] , F∈ [CD] ; M и N - точки пересечении средней линии EF с диагоналями AC и BD соответственно .
a) EM =NF =3 см или
b) MN =3 см .
ЕF - ?
обозн. AD =a ,BC =b.
EF =(a+b)/2 .
EM = NF =BC/2 =b/2 . Действительно EM и NF средние линии в треугольниках
ABC и BCD соответственно(средняя линия треугольника соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине ).
Аналогично из ΔABD : EN = AD/2 =a/2 * * * или из ΔACD : MF = AD/2=a/2 * * *
MN =EN - EM = a/2 -b/2 =(a-b)/2 .
а) b = 2*EM =2*3 см =6 см ;
EF =(a+b)/2 =(14 см+6 см)/2 =10 см .
b) MN =3 см.
MN =(a-b)/2 ⇒b =a -2MN ;
EF =(a+b)/2 =(a +a-2MN)/2 = a -MN =14 см -3 см = 11 см.
ответ : 10 см или 11 см.