Дана пирамида sabc, о - точка пересечения медиан основания авс.
а)докажите, что плоскость сечения, проходящая через прямую ав и середину м - ребра sc делит отрезок so в отношении 3: 1, считая от вершины s;
б) найдите угол между прямой вс и плоскостью авм, если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку м и середину ребра ав, и прямой so равен 45 °
а) Для доказательства данного утверждения нам понадобится использовать теорему о пропорциональности отрезков на прямых, которые пересекаются на одной прямой.
Итак, у нас есть пирамида sabc. Пусть точка о - точка пересечения медиан основания авс. Также пусть точка м - середина ребра sc, а точка v - середина ребра ab.
Для начала рассмотрим треугольник aso, в котором отрезок mv является медианой, а отрезок so - высотой, опущенной из вершины s.
Разобъем этот треугольник на два: треугольник avm и треугольник svo. Заметим, что эти два треугольника подобны, так как у них есть общий угол a и соответственные стороны пропорциональны (mv - медиана, so - высота). Поэтому мы можем записать пропорцию:
(1) mv / so = va / as.
Теперь рассмотрим треугольник asb, в котором отрезок оа является медианой. Разобъем его на два: треугольник ova и треугольник osb. Подобно предыдущему случаю, эти два треугольника также подобны. Поэтому мы можем записать пропорцию:
(2) оа / оs = va / as.
Заметим, что в обеих пропорциях (1) и (2) отрезок va / as совпадает, поэтому мы можем свести две пропорции в одну:
mv / so = оа / оs.
Теперь заметим, что отрезки mv и оа пропорциональны с отношением 1/3, так как точка о - точка пересечения медиан основания avс. Аналогично, отрезки so и оs также пропорциональны с отношением 1/3, так как точка о - точка пересечения медиан основания avс. Поэтому мы можем записать:
(3) mv / so = оа / оs = 1/3.
Таким образом, мы доказали, что плоскость сечения, проходящая через прямую ав и середину ребра sc, делит отрезок so в отношении 3:1, считая от вершины s.
б) Найдем угол между прямой вс и плоскостью авм.
Предположим, что угол между прямой вс и прямой ав равен α. Также предположим, что угол между прямой ав и плоскостью авм равен β.
Из условия задачи известно, что угол между прямой, проходящей через точку м и середину ребра ав, и прямой so равен 45 °. Обозначим этот угол как γ.
Так как пирамида является правильной, то все грани треугольники и углы в основании avс равны между собой. Поэтому углы a и v равны между собой, а их сумма α + β равна 180 ° минус γ (так как угол γ равен 45 °).
Таким образом, имеем уравнение:
α + β = 180 ° - γ.
Но мы знаем, что угол между прямой вс и плоскостью авм равен β. Поэтому имеем:
β = 180 ° - γ - α.
Мы можем записать это уравнение как:
β = 180 ° - 45 ° - α,
или, упрощая,
β = 135 ° - α.
Таким образом, мы нашли угол между прямой вс и плоскостью авм, и он равен 135 ° минус α.
Надеюсь, я смогла достаточно подробно и обстоятельно объяснить ответ на задание. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!